Homotopía relativa a un conjunto cerrado para variedades suaves

Question

En el problema Homotopía relativa a conjunto cerrado pregunté si 2 mapas $f,g:M\to N$ de $M$ a $N$ donde $N$ es contractible, de modo que $f=g$ en un conjunto cerrado $A\subset M$ son homotópicas respecto a $A$ .

@Paul Frost da un contraejemplo con $M=N=$ el espacio del peine. En realidad, cuando hice la pregunta anterior, tenía en mente colectores lisos y mapas lisos. Así que ahora quiero saber si esto es cierto o no. Es decir,

Sea $f,g:M\to N$ sean dos mapas suaves entre variedades suaves $M$ , $N$ donde $N$ es contraíble. Supongamos que $f=g$ en un conjunto cerrado $A\subset M$ ¿se deduce que $f\simeq g\ {\rm rel}\ A$ ?

Answer 1

Sí. Toda múltiple es un ANR (= repliegue de vecindad absoluta para espacios metrizables, véase por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Retract ). Cada ANR contractible es un AR (= retracto absoluto para espacios metrizables). Demostremos pues un resultado más general:

Sea $f,g : M\to N$ sean dos mapas de un espacio metrizable $M$ a un AR $N$ tal que $f=g$ en un conjunto cerrado $A\subset M$ . Entonces $f,g$ son homotópicas respecto a $A$ .

La prueba es muy sencilla. El conjunto $B = M \times \{0,1\} \cup A \times I$ está cerrado en $M \times I$ . Defina $\phi : B \to N$ por $\phi(a,t) = f(a)$ , $\phi(m,0) = f(m)$ y $\phi(m,1) = g(m)$ . Se trata de un mapa continuo. Dado que $N$ es un AR, tiene una Extensión continua $H : M \times I \to N$ . Esta es la homotopía deseada.

De lo que no estoy seguro es de si siempre se puede obtener una homotopía suave.