Ya tienes dos respuestas útiles relacionadas con aspectos generales de los isomorfismos de Eichler--Shimura en a $p$ -contexto adictivo. He aquí una respuesta que aborda más directamente su pregunta original.
Comenzaré recordando/exponiendo algunos hechos sobre la $p$ -lado de forma modular:
Fijar un manso (es decir, de primera a $p$ ) nivel $N$ y que $\mathbb T(N)$ sea el álgebra de Hecke completada generada por el $S_{\ell}$ et $T_{\ell}$ para $\ell \nmid N p$ actuando en el espacio de Katz $V(N)$ de generalizado $p$ -fucciones modulares de nivel $N$ . Fijar un ideal maximal $\mathfrak m$ en $\mathbb T(N)$ y que $V(N)_{\mathfrak m}$ sea la localización del espacio de Katz en el ideal máximo $\mathfrak m$ .
De hecho, para tratar con sensatez las viejas formas en $N$ Me resulta útil hacer lo siguiente siguiente: fijar el conjunto finito de primos $\ell_1,\ldots,\ell_n$ dividiendo $N$ y toma un límite directo de $V(N)_{\mathfrak m}$ como $N$ abarca todos los niveles divisibles por sólo $\ell_1,\ldots,\ell_n$ . Tenga en cuenta que $\mathbb T_{\mathfrak m}$ puede crecer a medida que $N$ aumenta (si $N$ divide $N'$ entonces $\mathbb T(N)\_{\mathfrak m}$ es un cociente de $\mathbb T(N')\_{\mathfrak m}$ ), pero acaba estabilizándose (aunque el $V(N)_{\mathfrak m}$ no se estabilizan), porque si $\rho$ es cualquier elevación de la representación de Galois $\overline{\rho}$ unido a $\mathfrak m$ entonces la diferencia entre el prime-to- $p$ conductor de $\rho$ et $\overline{\rho}$ está limitada.
Así que ahora $V_{\mathfrak m}$ sea este límite directo de $V(N)\_{\mathfrak m}$ y que $\mathbb T_{\mathfrak m}$ sea el álgebra de Katz Hecke que actúa sobre ella. Obsérvese que $V_{\mathfrak m}$ es una representación suave del producto $\prod_{i = 1}^n GL_2(\mathbb Q_{\ell_i}).$
Obsérvese también que existe una acción de $U_p$ en $V_{\mathfrak m}$ . (Permítanme reiterar que yo no incluir $U_p$ en mi álgebra de Hecke $\mathbb T_{\mathfrak m}$ !)
Ahora cohomología completa:
Si tomamos la cohomología completa a nivel manso $N$ obtenemos a $p$ -adicalmente completo $\mathbb Z_p$ -módulo $\widetilde{H}^1(N)$ con una acción de $\mathbb T_{\mathfrak m}$ , así como de $G_{\mathbb Q}$ et $GL_2(\mathbb Q_p)$ . Podemos completarlo en $\mathfrak m$ para obtener $\widetilde{H}^1(N)\_{\mathfrak m}$ .
Si a continuación tomamos el límite directo sobre todos $N$ que son divisibles exactamente por $\ell_1,\ldots,\ell_n$ obtenemos un módulo que denotaré $\widetilde{H}^1_{\mathfrak m}$ que tiene una acción de $\mathbb T_{\mathfrak m}$ de $G_{\mathbb Q}$ y $GL_2(\mathbb Q_p)$ y también del producto $\prod_{i=1}^n GL_2(\mathbb Q_{\ell_i})$ .
Supongamos ahora que $\overline{\rho}$ satisface algunas condiciones técnicas, la irreductibilidad es la más importante. (Las condiciones precisas se encuentran en el artículo sobre compatibilidad local-global que mencionas. Obsérvese también que la suposición de irreducibilidad elimina la distinción entre cohomología y cohomología con soporte compacto, y --- de forma más o menos equivalente --- la distinción entre cohomología y cohomología con soporte compacto. menos equivalentemente --- la distinción entre trabajar en curvas modulares cerradas frente a curvas modulares abiertas).
Entonces se puede demostrar que existe un isomorfismo de $\mathbb T_{\mathfrak m}[G_{\mathbb Q}\times GL_2(\mathbb Q_p) \times \prod_{i = 1}^n GL_2(\mathbb Q_{\ell_i})]$ -módulos
$$\widetilde{H}^1\_{\mathfrak m} = \rho^u \otimes_{\mathbb T\_{\mathfrak m}} \pi^u \hat{\otimes}_{\mathbb T\_{\mathfrak m}} V\_{\mathfrak m}^{U_p =0}. $$ Aquí $\rho^u$ es la deformación modular univeral de $\overline{\rho}$ en $\mathbb T_{\mathfrak m}$ , $\pi^u$ es una representación de $GL_2(\mathbb Q_p)$ en un ortonormalizable $\mathbb T_{\mathfrak m}$ -Módulo de Banach construido a partir de $\rho^u_{| G_{\mathbb Q_p}}$ a través de la $p$ -Langlands locales, y $V_{\mathfrak m}^{U_p = 0}$ es, como se ha indicado, el núcleo de $U_p$ en $V\_{\mathfrak m}$ . Además, el producto tensorial completo $\hat{\otimes}$ debe interpretarse adecuadamente. (Hay que recortar hasta un nivel manso fijo $N$ y, a continuación, formar el producto tensorial completo, y luego tomar un límite directo sobre todo $N$ .)
Así que esto es una especie de $p$ -ádica de Eichler--Shimura que relaciona el isomorfismo $p$ -y la cohomología $p$ -formas modulares radicales.
Pone de manifiesto la diferencia entre los dos lados con bastante claridad: en el lado de la cohomología completada, tenemos una acción de Galois, que se codifica en la aparición de $\rho^u$ . (Esto refleja el hecho clásico de que cada cuspuesta aparece "dos veces" en la cohomología).
Además, la cohomología completada tiene una acción de $GL_2(\mathbb Q_p)$ mientras que $p$ -Las formas modulares ádicas sólo tienen una acción de $U_p$ .
Así que para comparar los dos, primero tenemos que deshacernos del $U_p$ -acción sobre $p$ -(lo que hacemos pasando a $U_p = 0$ ) y, a continuación, añada un $GL_2(\mathbb Q_p)$ -lo que hacemos tensando con $\pi^u$ .
Obsérvese también que este isomorfismo no es canónico. En este sentido, es análogo a mirar la cohomología clásica de formas modulares con digamos $\mathbb Q$ -coeficientes, y formas modulares con $\mathbb Q$ -coeficientes. Estos serán isomorfos como módulos de Hecke --- hasta la cuestión de las cuspformas que aparecen dos veces en la cohomología, pero no canónicamente. Para que el isomorfismo Eichler--Shimura sea canónico, hay que extender los escalares a un anillo de período apropiado. Por el momento no estoy seguro de si esto es posible con cohomología completa.
Una observación más: el comercio en un $U_p$ -acción para un $GL_2(\mathbb Q_p)$ -es una mejora bastante significativa de la estructura, y es por ello que la cohomología completa proporciona una herramienta útil para demostrar teoremas de modularidad para representaciones de Galois, además de las teorías ya existentes de $p$ -formas modulares radicales y $p$ -símbolos modulares radicales.
Añadido: Ha preguntado por la motivación. La motivación original para definir la cohomología completa era construir eigenvariedades. Más tarde se hizo evidente que era un objeto importante por derecho propio, proporcionando una contrapartida global a las representaciones de $p$ -grupos radicales que empezaban a aparecer como parte de $p$ -Langlands locales. Por ejemplo, el teorema de que los vectores localmente algebraicos en cohomología son clásicos se demostró por primera vez como ingrediente en la demostración de un análogo del resultado de Coleman "pendiente pequeña implica clásico" para la eigenvariedad construida a partir de cohomología completada. Sólo más tarde se comprendió que esto podía combinarse con un resultado de compatibilidad local-global para demostrar teoremas de modularidad para representaciones de Galois.
Obsérvese que la relación aproximada con $p$ -es decir, que se obtiene la misma álgebra de Hecke con cualquiera de los dos enfoques, estaba claro desde el principio, aunque no lo estuviera la afirmación más precisa de Eichler--Shimura. Puesto que las variedades propias (como su nombre indica) sólo se preocupan por los valores propios de Hecke, esto significaba que la cohomología completa era suficiente para construirlas.
