Medidas de Haar en el modelo de Solovay

Question

La medida de Haar es una medida sobre grupos abelianos localmente compactos que es invariante a las traslaciones. Por ejemplo, la medida de Lebesgue sobre los reales es una medida de este tipo.

Se puede demostrar sin utilizar el axioma de elección que la medida de Haar existe y es única hasta un escalar, es decir, si queremos que la medida del intervalo unitario (por ejemplo) sea $1$ entonces es realmente único.

Mientras que la medida se define en subconjuntos de Borel, pero podemos completar la medida de una manera única mediante la adición de todos los subconjuntos de conjuntos de medida cero (y en el caso de los números reales tenemos una vez más el álgebra de Lebesgue)

Al igual que con la medida de Lebesgue, cuando está presente el axioma de elección hay casos en los que se pueden construir conjuntos no medibles. En el modelo de Solovay, sin embargo, tenemos que todos los subconjuntos de reales son medibles.

¿Existen resultados similares sobre las medidas de Haar de grupos generales de ACV? ¿Existe un modelo en el que todas las medidas de Haar (quizás con algunas limitaciones en los grupos) sean "medidas completas" (en el sentido de que cada subconjunto es medible)?

Answer 1

Si $(X,\mathcal{S})$ es un espacio de Borel estándar y $\mu$ una medida continua en $(X,\mathcal{S})$ entonces existe un isomorfismo de Borel $F:X\to [0,1]$ que envía $\mu$ a la medida de Lebesgue en $[0,1]$ . (Véase Kechris 17.41.) Dado que el isomorfismo preserva la medida, esto demuestra que cualquier subconjunto medible de $[0,1]$ tiene una preimagen medible bajo $F$ . En otras palabras, si todos los conjuntos de reales son medibles, entonces también lo son todos los subconjuntos de $X$ . Así pues, no hay que fijarse en las particularidades del modelo de Solovay, ni en la medida de Haar para grupos concretos, siempre que se restrinja la atención a los espacios de medida polacos.

Hay que añadir que estos argumentos sólo dependen de DC, que sí se cumple en el modelo de Solovay. Sin DC espero que sea posible un comportamiento muy extraño.

Answer 2

El modelo de Solovay tendrá todos los subconjuntos medibles siempre que el grupo sea (localmente compacto) metrizable. Para grupos "grandes" (no metrizables) la medida de Haar se define naturalmente en los conjuntos de Baire (la menor sigma-álgebra para que todas las funciones continuas de valor real sean medibles), y la extensión incluso a los conjuntos de Borel puede no ser única.