(Esta cuestión fue discutida por la gente en el taller PCMI sobre espacios moduli, sin ninguna resolución clara, así que pensé en lanzarlo abierto a MO).
El grupo de clases cartográficas hiperelípticas es (por definición) el subgrupo de clases cartográficas que conmutan con una involución. No todas las clases de mapas son hiperelípticas. En geometría algebraica, diríamos que el mapa $H_g \to M_g$ (donde $H_g$ es el espacio de moduli del género hiperelíptico $g$ curvas) no induce una suryección sobre grupos fundamentales.
¿Qué pasa con el locus trigonal $T_g$ parametrizando curvas de género-g dotadas de un mapa de grado-3 a $\mathbb{P}^1$ ? ¿El mapa $T_g \to M_g$ ¿inducen una suryección, o una inclusión de índice finito en grupos fundamentales? (Sabemos que $\pi_1(T_g)$ como $\pi_1(H_g)$ se proyecta sobre $Sp_{2g}(\mathbb{Z})$ o al menos sabemos que su imagen es Zariski densa; no estoy seguro de si sabemos que su imagen es de índice finito, ahora que lo pienso).
En topología, nos haríamos la siguiente pregunta: (¿equivalente? si no, casi) Sea $\phi$ sea una suryección del grupo libre sobre $k$ generadores a $S_3$ enviando cada generador a la clase de una transposición, y que $\Gamma$ sea el subgrupo (de índice finito) del $k$ -grupo trenzado de filamentos formado por elementos que estabilizan $\phi$ bajo composición izquierda. La realización de $\phi$ como un grado- $3$ cubierta simplemente ramificada de una esfera produce un mapa de $\Gamma$ a algún grupo de clases de mapeo $\Gamma_g$ cuya imagen es lo que podríamos llamar el grupo de clases de mapeo trigonal genus-g; la cuestión es si se trata de un correcto subgrupo.
De forma más general, se podría definir la gonalidad de una clase cartográfica $f$ sea el mínimo $d$ tal que $[f]$ está en la imagen del grupo fundamental del espacio de $d$ -de género $g$ . ¿Se trata de una invariante interesante? (Es decir, si siempre es 2 o 3 no es tan interesante).
