¿Es rígida la Unidad McGee?

Question

He descubierto una incrustación de distancia unitaria para el grafo de McGee .

Bram Cohen me preguntó si es rígido. Ya me costó bastante entender esta incrustación. Si algunos puntos pueden moverse, puede que quiera añadir más aristas. Pero eso rompería algunos récords existentes en grafos cromáticos, si no es rígido. Si es rígido, entonces es un objeto rígido de circunferencia 7.

¿Es rígido?

Answer 1

El gráfico no es rígido. Para comprobar que no lo es infinitesimalmente rígido, podemos atribuir una velocidad lineal y angular a cada arista (lo que nos da 3 × 36 = 108 parámetros), y luego calcular las distintas velocidades que éstas inducen en cada vértice. Como cada vértice tiene tres aristas incidentes sobre él, obtenemos tres vectores de velocidad bidimensionales potencialmente diferentes para cada vértice, y si tomamos la diferencia de dos pares, obtenemos cuatro cantidades que deben ser cero para cada vértice si el grafo se mantiene unido, lo que da un total de 24 × 4 = 96.

La matriz de 96 × 108 asociada a este sistema lineal tiene un espacio nulo de 12 dimensiones; esto es lo que cabría esperar contando simplemente las dimensiones de filas y columnas, pero, por supuesto, la respuesta podría haber sido diferente si hubiera habido alguna redundancia en las ecuaciones. Como hay una familia de movimientos rígidos de 3 parámetros que no cambian en absoluto la forma del grafo, queda una familia de 9 parámetros de deformaciones infinitesimales del grafo que no lo trasladan ni lo rotan en su conjunto (por ejemplo, las que fijan una de las aristas en el centro), sino que cambian su forma conservando todas las longitudes de las aristas.

¿Hay también finito ¿deformaciones? Sí. La forma más fácil de encontrar una trayectoria específica a través del espacio de configuración es tomar algunas decisiones adicionales que reduzcan el espacio de 9 parámetros a un solo parámetro: en los cálculos que probé, fijé las aristas verticales y horizontales en el centro, limité las dos aristas oblicuas en el centro sólo a rotaciones, y exigí que rotaran con ángulos iguales en direcciones opuestas. Eso dejaba 12 - 2 × 3 - 2 × 2 - 1 = 1 grado de libertad. A continuación, integré numéricamente una trayectoria a través del espacio de configuración para las aristas que cumplía esas restricciones adicionales, así como la necesidad de mantener iguales las tres velocidades inducidas por las aristas en cada vértice.

También había cierta libertad para parametrizar la trayectoria con el tiempo, así que elegí una parametrización tal que la energía cinética total de todos los bordes permaneciera constante.