Integral real evaluada numéricamente a número complejo

Question

He intentado introducir la siguiente integral en WolframAlpha:

$$\int_0^2\frac{1}{3\sqrt{x}(\log(x))^{\frac13}},$$

para hacerse una idea de su valor. Resultado:

http://bit.ly/strangeint

$$\int_0^2\frac{1}{3\sqrt{x}(\log(x))^{\frac13}}=0.810563-0.620515.$$

Y yo: "¿Cómo puede una integral real tener un valor complejo?". No, en serio, el integrando es real para todos los valores reales, así que ¿cómo surgió esa parte compleja?

Answer 1

WolframAlpha distingue entre x^(1/3) y cbrt(x) - el primero devuelve el principal mientras que el segundo devuelve la real raíz. Por ejemplo, cbrt(-8) devuelve $-2$ mientras que (-8)^(1/3) devuelve $1 + 1.73205i$ . Así, puede utilizar cbrt en su consulta WolframAlpha.

integrate (1/(3*sqrt(x)*cbrt(log(x))), x=0..2)

Obsérvese que la salida indica que el cálculo supone que cbrt es la raíz real y te ofrece un botón para cambiar a la principal. Su cálculo con log(x)^(1/3) debería haber asumido el director y ofrecer un botón para llegar a lo real.

Answer 2

El problema es que el logaritmo tiene un punto de bifurcación en $0$ así como $\sqrt[3]{z}$ por lo que debemos ser cuidadosos a la hora de definir las ramas que tomamos. Si simplemente definimos $x=e^t$ que tenemos: $$ I = \int_{-\infty}^{\log 2}\frac{e^{t/2}}{3 t^{1/3}}\,dt = \int_{0}^{\log 2}3t^{-1/3}e^{t/2}\,dt+\int_{-\infty}^{0}3t^{-1/3}e^{t/2}\,dt$$ donde la primera integral puede calcularse mediante una serie de Taylor y la segunda depende de un valor para la $\Gamma$ función, una vez definimos $t^{-1/3}$ para $t<0$ como $-(-t)^{-1/3}$ . Wolfram Alpha desconoce tal suposición, por lo que probablemente tome otra rama, dando como resultado una integral de valor complejo.