Teorema: Anti-diferenciación es más difícil que la diferenciación

Question

La pregunta de por qué anti-diferenciación es "más difícil" que la diferenciación fue el tema de una pregunta anterior, y algunas de las respuestas son interesantes, pero no estoy seguro de que responder, y esta pregunta no será exactamente el mismo. Alguien señaló que en numérico de trabajo, la integración es fácil y la diferenciación es duro, y alguien habló de lo local versus lo global.

Debe haber una respuesta en el contexto de diferencial álgebra en lugar de análisis, por lo que el local contra el problema mundial y numérica de problemas, no va a llegar a complicar la cuestión.

Puede la declaración de que es más fácil que el otro se convirtió en un precisamente stateable y comprobable teorema? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

Estamos hablando aquí acerca de la función de términos. El conjunto de tales términos y condiciones (las "funciones elementales") puede ser definido de una manera recursiva: $1$ $x$ son en función de los términos, y si $A$, $B$ son términos que, a continuación,$A+B$, $\lambda A$, $A*B$, $e^A$ y un cierto número de expresiones similares son, de nuevo, la función de términos. Denotar por ${\cal E}$ el conjunto de los términos establecidos en este camino. Es fácil demostrar que formal diferenciación $D={d\over dx}$ es un mapa de $D:\ {\cal E}\to{\cal E}$. Ahora surge la pregunta de si este mapa es también surjective. Todos sabemos que no lo es, pero sólo unos pocos de nosotros hemos visto una prueba de esto, la razón es que esto es una imposibilidad, la prueba; cf. la prueba de que es imposible trisect un ángulo con regla y compás. Tenemos que demostrar que hay casos $F$ de los "problema de integración" que todas longitud finita construcciones de la teoría a la mano (sustitución, integración parcial, etc.) no puede resolver. Para una prueba de que necesitamos una teoría que trasciende nuestra bolsa de trucos, por ejemplo, algún tipo de "diferencial de la teoría de Galois".