Número de números con una suma par de cifras en una base determinada

Question

Puede que esta pregunta sea algo repetitiva de otras anteriores, pero no he encontrado nada parecido.

Considere un alfabeto de $n+1$ cartas: $\{0,...,n \}$ . Sea $z$ sea un número en base $n+1$ tal que tenga $n$ dígitos. Sea $R_n(z)$ sea la suma de estos dígitos. Para cuántos z (para un n fijo) es $R_n(z)$ ¿Incluso? ¿Cuál es el comportamiento de $R$ como $n$ aumenta (observando que para diferentes valores de $n$ , $R$ se definirán en diferentes $z$ 's)?

Estaba pensando en probar algo parecido a la función generadora de "números de los billetes de la suerte", pero no estoy muy familiarizado con ellas y me perdí bastante pronto.

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Notación: Llamemos $D_n = \{ z \in \mathbb{N}:$ la base-( $n+1$ ) expansión de $z$ tiene $n$ dígitos con el primer dígito $d_1 \not= 0 \}$ . Llamemos $E_n = \{z \in D_n: R_n(z) \in 2 \mathbb{N} \}$ .

Tengo curiosidad por saber cuál es la relación (asintótica) de $\frac{|E_n|}{|D_n|}$ (como $n \rightarrow \infty$ ).

Answer 1

Con la restricción de que el primer dígito de $z$ no es $0$ ya sea el primer dígito (para el que existen $n$ opciones) o el último dígito (para el que hay $n+1$ opciones) pueden elegirse de muchas maneras iguales para que la suma sea par o impar dados los otros dígitos. Por lo tanto, exactamente la mitad de los números de una longitud dada (con inicio distinto de cero) tienen una suma par.