Sumideros y fuentes

Question

Necesito encontrar una ecuación diferencial $x'=f(x)$ que tiene tres puntos de equilibrio que son

1. todos los fregaderos;
2. todas las fuentes.

Por tanto, dos ecuaciones diferenciales en total. ¡Ayuda!

Answer 1

Basta con definir una función, $f$ que tiene tres ceros, y para asegurar que estos ceros son todos sumideros de la ecuación diferencial, asegúrese de que $\frac{df}{dx} < 0$ en cada cero. Nótese que esto requiere que $f$ es una función discontinua. Como ejemplo concreto, con ceros en $-1$ , $0$ y $1$ , $$ f(x) = \left\{ \begin{array}{lc} -x-1 \;, & x \le -\frac{1}{2} \\ -x \;, & -\frac{1}{2} < x \le \frac{1}{2} \\ -x+1 \;, & x > \frac{1}{2} \end{array} \right. \;. $$ En cambio $-f(x)$ los ceros son fuentes.

Answer 2

Pista: prestar atención raíz de esta ecuación x'=f(x) es puntos de equilibrio dejar que $f(x_0)=0$ por lo tanto $$if\quad f'(x_0)\lt0 \quad then\quad x_0 \quad is\quad sink $$ y $$if\quad f'(x_0)\gt0 \quad then\quad x_0 \quad is\quad source $$ ahora puede encontrar $f(x)$ para "1" dejar $f(x)=(x-a)(x-b)(x)$ s.t $f'(x)=3x^2-2(a+b)+ab\lt0$ entonces calcula el limite inferior y superior para a,b tambien hazlo para la segunda parte $f(x)=(x-a)(x-b)(x)$ entonces encuentra a,b tal que $f'(x)=3x^2-2(a+b)+ab\gt0$