Aplicación de la teoría de factorización a las estimaciones integrales oscilatorias

Question

En el artículo "Some New Estimates on Oscillatory Integrals" de Bourgain en el libro Ensayos en honor de Elias M. Stein Bourgain considera operadores de la forma $$S_{N}g(x):=\int_{\mathbb{R}^{n}}g(y)e^{iN|x-y|}b(x-y)dy, \quad x\in\mathbb{R}^{n}$$ donde $g\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$ , $N>0$ y $b$ es una función bump estándar adaptada a una vecindad del origen en $\mathbb{R}^{n}$ . El objetivo es demostrar una estimación de la forma $$\|S_{N}g\|_{L^{p}}\lesssim_{\epsilon}N^{-\frac{n}{p}+\epsilon}\|g\|_{L^{p}}$$ para todos $0<\epsilon\ll 1$ donde $\frac{n}{p'}<\lambda+\frac{n+1}{2}$ donde $\lambda>0$ es fijo. El contexto para este operador es probar $L^{p}$ límites para el Multiplicador de Bochner-Riesz .

Supongamos que $p>2$ . Bourgain afirma que "por la teoría general de factorización y la invariancia rotacional, basta con obtener la $L^{\infty}\rightarrow L^{p}$ estimación $$\|S_{N}f\|_{L^{p}}\lesssim_{n,p} N^{-n/p}\|f\|_{L^{\infty}}$$

Como se refiere antes en el artículo, en el contexto de las estimaciones de restricción/extensión de Fourier, a la teoría de Nikishin-Maurey, estoy suponiendo que se refiere a algo parecido al siguiente teorema de Nikishin, que he tomado por García-Cuerva, Rubio De Francia's Desigualdades ponderadas

Teorema (Nikishin) Sea $(Y,\mu)$ sea un espacio de medidas arbitrario, $(X,m)$ ser un $\sigma$ -y que $T: L^{p}(\mu)\rightarrow L^{0}(m)$ sea un operador continuo sublineal, con $0<p<\infty$ . Entonces existe un peso $w(x)>0$ a.e. tal que $T: L^{p}(\mu)\rightarrow L^{q,\infty}(wdm)$ donde $q=p\wedge 2$ ; i $$\int_{\{|Tf|>\lambda\}}w(x)dm(x)\leq (\|f\|_{L^{p}}/\lambda)^{q}, \quad f\in L^{p}(\mu); \lambda >0$$

Uno puede tomar el peso $w$ para ser acotado por encima.

Si aplicamos el teorema de Nikishin al operador adjunto $S_{N}^{*}$ obtenemos que existe un peso tal $w$ tal que $S_{N}^{*}: L^{p'}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow L^{p',\infty}(\mathbb{R}^{n}, w(x)dx)$ para $p>2$ . Por invariancia de traslación, también podemos tomar $w$ sea continua y positiva en todas partes. Por invariancia de rotación y promediando sobre el grupo ortogonal, podemos tomar $w$ ser radial.

¿Cómo se elimina completamente el peso para obtener ese $S_{N}^{*}: L^{p'}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow L^{p',\infty}(\mathbb{R}^{n})$ que supongo que es el objetivo (es muy posible que esté completamente equivocado). Si no me equivoco, en un entorno en el que el operador corresponde a funciones en un espacio homogéneo, como la esfera, se puede utilizar la acción de grupo asociada para promediar el peso; sin embargo, esto no parece funcionar en el entorno actual. No he podido encontrar una referencia en la que se esbozara este argumento. Otros artículos parecen referirse al artículo de Bourgain antes mencionado.

Answer 1

Así que aquí está una puñalada en la forma de obtener la estimación deseada; Todavía no sé si es lo que pretendía Bourgain. Agradecería si alguien pudiera comentar si mi comprensión de un resultado de la teoría de operadores absolutamente sumatorios es correcta.

Obsérvese que el operador $S_{N}$ es local en el sentido de que si $\text{supp}(f)\subset B_{r}(c)$ entonces $\text{supp}(S_{N}f)\subset B_{Cr}(c)$ donde $C>0$ es una constante que sólo depende de la dimensión $n$ y la función $b$ . Así que desde $S_{N}$ es invariante de traslación, basta con demostrar que $$\|S_{N}f\|_{L^{p}}\lesssim_{n,p,\epsilon}N^{-\frac{n}{p}+\epsilon}\|f\|_{L^{p}}, \quad \text{supp}(f)\subset Q:=[0,1]^{n}$$

Fijar $q>p>2$ (en particular, $q$ puede estar fuera del intervalo admisible para Bochner-Riesz). Dado que $L^{p'}(Q)$ tiene tipo $p'$ y $\|S_{N}\|_{(\infty,p)}\lesssim N^{-n/p}$ la teoría de los operadores de suma absoluta (véase [Pisier 86] ) nos dice que existe una medida de probabilidad $\mu$ en $Q$ tal que $$\|S_{N}f\|_{L^{p}(dx)}\lesssim_{n,p,q}N^{-n/p}\|f\|_{L^{q}(\mu)}$$ Por invariancia de traslación, tenemos que para cualquier $h\in\mathbb{R}^{n}$ , $$\|S_{N}f\|_{L^{p}(dx)}\lesssim_{n,p,q}N^{-n/p}\|f(\cdot-h)\|_{L^{q}(\mu)}$$ Integrando ahora ambos lados de la desigualdad sobre el cubo $2\sqrt{n}Q$ con respecto a $dh$ y utilizando Fubini junto con el hecho de que $\mu$ es una medida de probabilidad, obtenemos $$C_{n}\|S_{N}f\|_{L^{p}(dx)}^{q}\lesssim_{n,p,q} N^{-n/p}\|f\|_{L^{q}(dx)}^{q}$$ Para obtener el $(p,p)$ estimación, utilizamos la interpolación compleja con la trivial $(2,2)$ estimación. En concreto, escribir $\frac{1}{p}=\frac{\theta}{q}+\frac{1-\theta}{2}$ obtenemos $$\|S_{N}f\|_{L^{p}}\lesssim_{n,p,q}N^{-\theta\frac{n}{p}}\|f\|_{L^{p}}$$ de la que se desprende la conclusión deseada.