Cuadrados en anillo de cociente polinómico $ (\mathbb{Z}/2)[x] /(x^{17} - 1) $

Question

Sea $R = (\mathbb{Z}/2)[x] $ y $I$ el ideal generado por el polinomio $x^{17} - 1$ . ¿Existe algún elemento distinto de cero de $R/I$ siempre que el cuadrado de ese elemento sea cero en $R/I$ ? Conozco un anillo cociente $R/P$ es un dominio integral si $P$ es un ideal primo, y como $R$ es un PID, los elementos primos son los irreducibles, pero $x^{17} - 1 $ es reducible en $R$ Por lo tanto $R/I$ no es un dominio integral. Por lo tanto, hay $a,b \in R/I$ s.t. $ab = 0 $ pero $b$ podría no ser $a$ y ahí es donde me quedé atascado. También he intentado encontrar $f \in R$ s.t. $ f^2 = g \cdot (x^{17} - 1)$ pero no sé cómo atacarlo metódicamente.

Answer 1

Pista: $\:h\ |\ f^2\ \Rightarrow\ h\ |\ f\:$ desde $h = x^{17}-1$ es libre de cuadrados en $\mathbb Z/2[x],\:$ por $\:(h,h') = (x^{17}-1,x^{16}) = 1\:.\ $ Ver también esta entrada para muchas caracterizaciones de elementos libres de cuadrados.