¿Cómo es el conjunto de distribuciones de probabilidad en $m$ valores y $m-1$ -¿Simplex dimensional?

Question

En Zuk et al. 2012 afirman:

El conjunto de distribuciones de probabilidad en $m$ valores es el $m-1$ -denota $S_m$ .

Las funciones de distribución de probabilidad me resultan familiares. Entiendo la noción básica de simplex como objeto geométrico, y los recuerdo de cómo el método simplex puede interpretarse geométricamente como un recorrido de nodos simplex. Pero no estoy familiarizado con la representación de conjuntos de distribuciones de probabilidad como un simplex.

¿Cómo funciona esta representación?

Answer 1

Esto se deriva de la definición del simplex estándar:

$$\left\{x \in \mathbb{R}^{k} : x_0 + \dots + x_{k-1} = 1, x_i \ge 0 \text{ for } i = 0, \dots, k-1 \right\} $$

Es el conjunto de $k$ -puntos dimensionales cuyas coordenadas suman 1 y son todas no negativas. Esto se ajusta a los axiomas de la probabilidad. La noción queda más clara si se sustituye cada $x$ con un $p$ .

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En cuanto a por qué es el $m-1$ -en lugar de $m$ Consideremos el ejemplo de una distribución sobre tres clases. Las coordenadas son puntos como $(0.3, 0.1, 0.6)$ . Estos existen en un espacio 3D, pero en realidad existen en un subespacio 2D: un triángulo cuyos vértices están en $(0,0,1)$ , $(0,1,0)$ y $(1,0,0)$ .

Los vértices representan distribuciones de Kronecker que sitúan toda la masa en una de las tres clases. Cada distribución es una combinación lineal de éstas.