Valor asintótico en matemáticas.

Question

¿Qué significa el término $o(k^2)$ en $f(k)=k^2/2+o(k^2)$ ¿Qué quiere decir?

He utilizado la notación asintótica sólo en el contexto de la complejidad algorítmica.

Con una analogía que, supongo que dice $f(k)$ devuelve un valor tan grande como $k^2/2$ y tiene otro término que es al menos de grado 2. Pero entonces no estaría dando mucha información sobre $f(k)$ puede ser de cualquier orden.

Lo que hago con $k^2/2+O(k)$ es $k^2$ es el término de mayor grado.

Gracias de antemano.

EDIT: También agradecería referencias sonoras sobre el tema.

Answer 1

Tal vez quieras decir que $f(k)=\frac{k^2}{2}+o(k^2)$ o que $f(x)=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ . Sin embargo, es posible que realmente desee $f(x)=\frac{k^2}{2}+o(k^2)$ donde $k$ es una función explícita de $x$ .

En cualquier caso, la expresión es incompleta. En realidad deberíamos escribir algo como $f(x)=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ como $x\to\infty$ o $f(x)=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ como $x\to 0$ . Sin embargo, esta información adicional suele omitirse, ya que viene determinada por el contexto. Debido a la palabra "asintótica" del título, supondré que "como $x\to\infty$ ".

En ese caso, la expresión significa que $$f(x)=\frac{x^2}{2}+E(x),$$ donde $E(x)$ es un término de "error" y $$\lim_{x\to\infty}\frac{E(x)}{x^2}=0.$$