Tengo que demostrar que todo anillo finito es noetheriano . Conozco ejemplos de anillos noetherianos que no son finitos como el campo de los números complejos o un PIR como los enteros. Pero en fin:
[Prueba]:
Sé por definición que para un anillo R que satisface la condición de cadena ascendente (ACC), es decir, toda secuencia de ideales $$I_1 \subseteq I_2\subseteq I_3\subseteq ... $$ de R se estabiliza, es decir $\exists n_o$ tal que $I_{n_0}=I_n$ para todo n $\ge n_o$ entonces el anillo R es Noetheriano . Esto significaría que hay un número finito de ideales. Suponiendo ahora R es finito, esto significaría que tiene un número finito de subconjuntos y como ideal $I$ se define como $I\subseteq R $ ¿no significaría esto que el ACC se cumple siempre para un anillo finito y, por tanto, todos los anillos finitos son Noetheriano ?
No sé si algo de esto es correcto pero agradecería mucho cualquier consejo. Gracias por cualquier ayuda.
