En lo que el papel de hacer Hardy y Littlewood primera mención, en concreto, su 2º conjetura? No se menciona específicamente en I Numerorum III.
Esta conjetura se expresa generalmente como
$$\pi(x+y)\leq \pi(x)+\pi(y). $$
en que $\pi(x)$ es el número de números primos que no exceda $x.$
Véase, por ejemplo, Mathworld de la nota.
De Hardy-Littlewood, la segunda conjetura no aparece en el documento que mencionas.$^*$
El artículo es de 70 páginas y la idea es brevemente en páginas 52-54. El artículo es citado para Hardy-Littlewood la segunda conjetura en docenas de lugares y, afortunadamente, uno de ellos le dio las páginas.
En la página 52 los autores presentan una diferencia.
"El caso general, plantea preguntas interesantes en cuanto a la densidad de la distribución de los números primos, y será conveniente comenzar por discutir sobre ellos. Escribimos
(5.6 II) $$\rho(x) = \overline{lim}_{n\to \infty}(\pi(n+x)-\pi(n)) $$
de modo que $\rho(x)= \rho([x])$ es el mayor número de números primos que se produce de forma indefinida a menudo en una secuencia $n+1,n+2,...,n+[x]$ $[x]$ enteros consecutivos."
Y en la página 54 se conjetura:
"Un examen de los números primos menos de 200 sugiere a la fuerza que
$$\rho(x) \leq \pi(x),~~(x\geq 2). "$$
Pero a pesar de que los métodos que vamos a explicar llevar a golpear conjetural límites inferiores, arrojan ninguna luz sobre el problema de un límite superior."
En la página 68, después de las relacionadas con la digresión, los autores dan a un cálculo y estado de re-su sentido de que la conjetura parece plausible.
Más allá de $x = 97$ parece que $\rho(x)$ cae más abajo,$\pi(x)$, al menos dentro de cualquier intervalo en el que el cálculo es posible.
Esta conjetura, a diferencia de otros, no es nombrado en el papel como lo que puedo decir. La habitual declaración de Hardy-Littlewood, la segunda conjetura es
$$\pi(n+x) \leq \pi(n)+\pi(x).$$
$^*$ G. h. Hardy y J. E. Littlewood, Algunos de los problemas de 'i numerorum:' III: Sobre la expresión de un número como una suma de números primos, Acta Mathematica, de diciembre de 1923, tomo 44, pp 1-70. El texto completo del artículo está disponible a través de Springer. Hay un muro de pago por lo que no puedo poner el enlace. Las cinco primeras páginas están disponibles de forma gratuita en varios sitios.
Esta es la respuesta que he publicado a una pregunta similar hace algún tiempo en MathOverflow.
Eché un vistazo a Schinzel y Sierpinski, Sur las hipótesis concernant les nombres estrenos, Acta Arith IV (1958) 185-208, reproducido en el Volumen 2 de Schinzel de la Selecta, páginas 1113-1133. En la Selecta, que no es un comentario de Jerzy Kaczorowski, quien menciona "la G H Hardy y J E Littlewood conjetura implícitamente formulada en [33] que $\pi(x+y)\le\pi(x)+\pi(y)$ $x,y\ge2$." [33] es I Numerorum III. Schinzel y Sierpinski (página 1127 de la Selecta) definen $\rho(x)=\limsup_{y\to\infty}[\pi(y+x)-\pi(y)]$, y el punto a que H-L papel, pp 52-68. A continuación, escribir (página 1131), "$\bf C_{12.2}.$ L'hypothese de Hardy et Littlewood suivant laquelle $\rho(x)\le\pi(x)$ pour $x$ naturels $\gt1$ equivaut a l'inegalite $\pi(x+y)\le\pi(x)+\pi(y)$ pour $x\gt1,y\gt1$." Debe decirse que la prueba de que la primera desigualdad implica que el segundo se basa en la Hipótesis H, que básicamente dice que si no hay una razón simple de por qué un montón de polinomios no pueden todos ser un número primo, entonces ellos son infinitamente a menudo.
Schinzel y Sierpinski expresa ninguna opinión en cuanto a cualquier grado de creencia en la hipótesis en discusión.
No creo que este hecho responde a alguna de las preguntas, aunque Kaczorowski el uso de la palabra "implícitamente" puede ser significativo.
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