¿Cómo puedo demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ converge uniformemente en $[-a,a]$, $a>0$ pero no en $\mathbb{R}$?

Question

Estoy buscando demostrar que:

 

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ converge uniformemente en $[-a,a]$ para $a>0$, pero no converge uniformemente en $\mathbb{R} $.

¿Cómo puedo hacer esto? Mi libro lo menciona como parte de un ejemplo pero no profundiza en ello y no puedo verlo intuitivamente en este momento. ¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Supongo que la segunda parte de la pregunta es con lo que estás luchando. Para demostrar que una secuencia $\{f_n\}$ no converge de manera uniforme a $f$, quieres mostrar que

Para algún $\epsilon > 0$, y para todo $N \in \Bbb N$: existe un $n \geq N$ y un $x$ (en $\Bbb R$) tal que $|f_n(x) - f(x)|\geq \epsilon$

Para cualquier $n$, intenta mostrar que existe un $x$ adecuado.

Answer 2

En $[-a,a]$, $|x^n/n!| \le a^n/n!$ para todo $n\in \Bbb N$, y $\sum_{n = 1}^\infty a^n/n!$ converge. Por el criterio de Weierstrass $M$, la serie $\sum_{n = 1}^\infty x^n/n!$ converge uniformemente en $[-a,a].

Para ver que $\sum_{n = 1}^\infty x^n/n!$ no converge uniformemente en $\Bbb R$, note que para cada entero positivo $N$,

$$\left|\sum_{n = N}^{2N} \frac{(2N)^n}{n!}\right| > \frac{(2N)^N}{(2N)!}(N+1) \ge 2.$$

Por lo tanto, por el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme, la serie $\sum_{n = 1}^\infty x^n/n!$ no converge uniformemente en $\Bbb R$.

Answer 3

Que una secuencia de funciones $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x)$ significa que para cualquier $\epsilon > 0$ y cualquier $x$ puedes encontrar un $N_x$ tal que para cualquier $n > N$, tenemos $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$.

Por otro lado, para la convergencia uniforme, tienes que encontrar un $N$ que funcione para todos los valores de $x. Esto es posible en el caso acotado, pero si miramos el dominio no acotado $\Bbb R$, entonces cuanto más lejos vayas en la recta real, más lejos en la secuencia tendrás que ir para que $f_n$ se acerque a $f$. Para cualquier candidato dado para $N$, si usas valores lo suficientemente grandes para $x$, ya no tendrás $|f_{N+1}(x) - f(x)| < \epsilon$ y esto es lo que evita que esta secuencia sea uniformemente convergente.