$f, f^2 \in L^2[0,1]$ implica $f+1 \in L^3[0,1]$

Question

Supongamos que $f,f^2 \in L^2[0,1]$ y mostrar $f+1 \in L^3[0,1]$ .

Así que sé si $f,f^2 \in L^2[0,1]$ entonces

$$\bigg(\int_{[0,1]} \vert f \vert^2 dx\bigg)^\frac{1}{2}<+\infty$$

y

$$\bigg(\int_{[0,1]} \vert f^2 \vert^2 dx\bigg)^\frac{1}{2}<+\infty$$

¿Cómo puedo encuadernar? $\bigg(\int_{[0,1]} \vert f+1 \vert^3 dx \bigg)^\frac{1}{3}$

sea inferior a $\infty$ ?

Answer 1

Por Minkowski, basta con demostrar $f \in L^3$ . Por Hölder, $\|f^3\|_{1} \leq \|f^2\|_{2}\|f\|_{2}<\infty$ por suposición