Supongamos que tenemos un espacio de probabilidad filtrado $(\Omega,\mathcal{F},P,\mathcal{F}_t)$ . Digamos que tienes el mercado financiero con el proceso bancario:
$$dR_0(t,\omega)=\rho(\omega,t)R_0(t,\omega)dt,$$
donde $\rho$ es un proceso progresivamente medible y se supone que $P(\int_0^T|\rho(\omega,t)R(\omega,t)|dt<\infty)=1$ . Y usted tiene un activo de riesgo que se modela por
$$dR_1(\omega,t)=\mu(\omega,t)dt+\sigma(\omega,t)dB_t,$$
donde $\mu, \sigma$ son progresivamente mensurables y $P(\int_0^T|\mu(\omega,t)|dt<\infty)=1$ y $P(\int_0^T|\sigma(\omega,t)|^2dt<\infty)=1$ .
Supongamos ahora que $\sigma(\omega,t)=0$ . Entonces, el activo de riesgo se modela mediante
$$dR_1(\omega,t)=\mu(\omega,t)dt.$$
¿Podemos demostrar que en este caso hay arbitraje?
La razón por la que sospecho que esto es cierto es que si en lugar de ello tuviéramos un mercado discreto en el tiempo con $t_0=0<t_1<t_2<\cdots<t_n=T$ y lo modelamos mediante
$$\Delta R_1(\omega,t_i)=R_1(\omega,t_{i+1})-R_1(\omega,t_{i})=\mu(\omega,t_i)\cdot \Delta t_t,$$
entonces habríamos tenido arbitraje. Porque desde $\mu$ se adapta, se sabe en el momento $t_i$ por lo tanto, en el momento $t_i$ sabríamos cuál sería el valor del activo de riesgo en el momento $t_{i+1}$ . También sabríamos cuál sería el valor del proceso bancario en el momento $t_{i+1}$ a la vez $t_i$ . Así que podíamos pedir dinero prestado y comprar las acciones o ir en corto y poner dinero en el banco, dependiendo de lo que diera mayor rendimiento. Sin embargo, ¿podemos demostrar que también conducirá al arbitraje en el caso de tiempo continuo?
Actualización
Creo que tengo una solución. Va así:
Mira el proceso dsicontado $R_1/R_0$ se trata de un proceso Itö observando la función $F(x,y)=x/y$ y señalando que $R_1/R_0=F(R_1,R_0)$ . F satisface la hipótesis de la fórmula Itö ya que $R_0\ne 0$ . Desde $dR_1$ y $dR_0$ no tienen $dB$ se deduce de la fórmula de Itös que $dF(R_1,R_0)$ no tienen $dB$ condiciones. Por lo tanto
$$\frac{R_1(t)}{R_0(t)}=\frac{R_1(0)}{R_0(0)}+\int_0^tK(\omega,s)ds,$$
donde encontramos $K$ de la fórmula de Itö. Como la fórmula de Itö nos dice que $R_1/R_0$ es un proceso Itö tenemos que
$$P\left(\int_0^T|K(\omega,t)|dt<\infty\right)=1.$$
El teorema fundamental de la valoración de activos nos dice que no hay arbitraje si y sólo si existe una medida martingala local equivalente $Q$ donde $R_1/R_0$ es una martingala local. Supongamos por contradicción que $Q$ existe.
Ahora tenemos que $$R_1/R_0$$ se define $\omega$ -wise $P$ -a.s. Y como $Q$ es equivalente a $P$ también debemos tener
$$Q\left(\int_0^T|K(\omega,t)|dt<\infty\right)=1.$$
Ahora mira $K$ , $\omega$ -wise. Entonces es un $L^1[0,T]$ -función. Y se sabe que $F(s)=\int_0^t f(s)ds$ tiene variación acotada para $f \in L^1[0,T]$ .
Por lo tanto, en $Q$ tenemos que $R_1/R_0$ es una martingala local continua con variación finita. Esto significa que es constante. Por tanto,
$$Q(\{\omega: R_1(\omega,\cdot)/R_0(\omega,\cdot)=\text{Constant}\})=1.$$
Pero como $P$ y $Q$ son equivalentes tenemos
$$P(\{\omega: R_1(\omega,\cdot)/R_0(\omega,\cdot)=\text{Constant}\})=1.$$
Esto significa que
$$R_1(\omega,t)=R_0(\omega,t)\cdot M(\omega).$$
Pero esto también es válido para $t=0$ de ahí
$$R_1(\omega,t)=\frac{R_1(0)}{R_0(0)}\cdot R_0(\omega,t),$$
Por lo tanto, nos limitamos al caso trivial en el que el activo de riesgo es un múltiplo del proceso bancario.
