Supongamos que $(G, \cdot)$ y $(H, *)$ son grupos. Si $K \trianglelefteq H$ , $G \cong H$ y la cartografía $\pi: G \to H/K$ se define como $\pi (g) = \varphi(g)K$ demuestre que está bien definida. Aquí $\varphi$ es cualquier isomorfismo de $G$ a $H$ .
¿Cómo puedo demostrar que $\pi$ ¿está bien definido?
Mi intento:
Intenté usar esto Correo electrónico: por mi intento, pero es con $G/N$ (para algún subgrupo normal $N$ en $G$ ; en ese puesto utilizó $H$ en lugar de $N$ pero no importa) para mi prueba, pero parece difícil para $H/K$ (utilizado en la frase del principio). En concreto, supongamos que $\pi: G \to H/K$ tal que $\pi (g) = \varphi (g)K$ (aquí $K \trianglelefteq H$ ) y $g_1, g_2 \in G$ tal que $g_1 = g_2$ . Denotemos $e$ el elemento identidad de G y $e_H$ el elemento de identidad en $H$ .
Entonces, $g_1 \cdot g_2^{-1} = e$ . Así que.., $\varphi(g_1 \cdot g_2^{-1}) = \varphi(e) = e_H$ Esto significa que $g_1 \cdot g_2^{-1} \in \text{Ker}(\varphi)$ . Aquí es donde estoy atascado.
Cualquier ayuda es buena. Espero que esto sea comprensible.
Motivación
Esto es de una prueba que quiero hacer que incluye subgrupos normales, núcleos, etc. Es de mi entrada anterior .
