Quiero demostrar que el espacio de Hölder es un espacio de Banach bajo la "Norma de Hölder", es decir. $\|\cdot\|_{C^{k,\alpha}}$ . Cualquier sugerencia será apreciada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
HINT:
Si asumo que ya has probado o sabido que
Denote $C^k(\Omega)$ como el espacio de las funciones acotadas y continuas hasta $k$ -en la derivada, $C^k(\Omega)$ equipado con el $\sum\limits_{|\alpha|\leq k} \sup\limits_{x\in \Omega} |\partial_{\alpha}(\cdot)|$ es un espacio de Banach.
Entonces hay que comprobar si los siguientes hechos se mantienen después de la introducción de ese extra $C^{0,\gamma}(\Omega)$ -seminorma:
-
Compruebe si $[\cdot]_{\gamma}$ es una seminorma en $C^{0,\gamma}(\Omega)$ es decir, la desigualdad del triángulo y la linealidad, esto implicaría que $\| u\|_{C^k(\Omega)} + \sum\limits_{|\alpha|= k}[\partial_{\alpha} u]_{\gamma}$ es una norma.
-
Comprobación de cualquier secuencia de Cauchy $\{u_n\}$ en $C^{k,\gamma}(\Omega)$ convergerá a un límite también situado en $C^{k,\gamma}(\Omega)$ . Esto podría hacerse como sugiere matgaio en su comentario, Siendo Cauchy en $C^{k,\gamma}(\Omega)$ -implica ser Cauchy en $C^{k}(\Omega)$ -norma, conociendo la integridad de $C^{k}(\Omega)$ sabemos que existe un límite $u$ nos gustaría mostrar esto $u$ se encuentra en $C^{k,\gamma}(\Omega)$ también, es decir, para cualquier $|\alpha| = k$ , $[\partial_{\alpha} u]_{\gamma} < \infty$ .
-
Por último, pero no menos importante, ya que el argumento anterior sólo se refiere a la $C^k(\Omega)$ -límite $u$ de un $C^{k,\gamma}(\Omega)$ La secuencia de Cauchy se encuentra en $C^{k,\gamma}(\Omega)$ ahora tenemos que comprobar el $C^{k,\gamma}(\Omega)$ -límite de $u_n$ sigue siendo $u$ desde la primera $k$ -ya está garantizada la convergencia de la derivada, basta con demostrar que para cualquier $|\alpha|=k$ , $[\partial_{\alpha} u_n - \partial_{\alpha} u]_{\gamma} \to 0$ .
Y estos tres junto con $C^{k}(\Omega)$ siendo Banach implicaría $C^{k,\gamma}(\Omega)$ es Banach. Si tienes alguna pregunta sobre alguna prueba específica, podría editar mi respuesta con algunos detalles sobre la prueba.
EDIT: ¿Cómo probamos
$C^k(\Omega)$ equipado con el $\sum\limits_{|\alpha|\leq k} \sup\limits_{x\in \Omega} |\partial_{\alpha}(\cdot)|$ es un espacio de Banach.
Para esta afirmación, primero tenemos que demostrar que $(C(\Omega), \sup\limits_{x\in \Omega} |\cdot|)$ es Banach, normalmente decimos aquí $C(\Omega)$ denota la función continua acotada, si $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ ya está cerrada y acotada, podríamos eliminar la parte "acotada". Para demostrarlo, tenemos que comprobarlo:
- $\sup\limits_{x\in \Omega} |\cdot|$ es una norma en $C(\Omega)$ es decir, las validaciones de las siguientes relaciones se dejan para que usted las compruebe $$ \sup\limits_{x\in \Omega} |u+v| \leq \sup\limits_{x\in \Omega} |u| + \sup\limits_{x\in \Omega} |v| $$
$$ \sup\limits_{x\in \Omega} |u| = 0 \text{ if and only if } u = 0 $$
$$ \sup\limits_{x\in \Omega} |\lambda u| = |\lambda|\,\sup\limits_{x\in \Omega} | u| $$
- Es necesario verificar que bajo esta norma suprema, $C(\Omega)$ es completa, es decir, escoge cualquier secuencia de Cauchy $\{u_n\}\subset C(\Omega)$ en $\sup\limits_{x\in \Omega} |\cdot|$ -el límite sigue siendo una función continua acotada. Para comprobarlo, definamos $$ u(x) = \lim_{n\to\infty} u_n(x) $$ como límite puntual, y tenemos que demostrar que $u(x)$ es también una función continua acotada, es decir $u\in C(\Omega)$ , es posible que quieras recordar la técnica en la demostración de una secuencia uniformemente convergente de funciones continuas converge a una función continua .
Si se comprueba lo anterior, entonces podríamos decir $(C(\Omega), \sup\limits_{x\in \Omega} |\cdot|)$ es Banach, y para $\left(C^k(\Omega),\sum\limits_{|\alpha|\leq k} \sup\limits_{x\in \Omega} |\partial_{\alpha}(\cdot)|\right)$ La suma de los supremos de cada valor absoluto de la derivada que es una norma no es difícil de comprobar. Para la parte de integridad, la secuencia $\{u_n\}$ siendo Cauchy implica que $\{\partial_{\alpha} u_n\}_{|\alpha| = i}$ para cualquier $i\leq k$ es Cauchy, utilice el argumento anterior para $C(\Omega)$ sabemos que $\{u_n\}$ y cada $\{\partial_{\alpha} u_n\}_{|\alpha| = i}$ convergería a una función continua acotada, el resto es comprobar que los límites coinciden, es decir $$ \text{If } u = \lim_{n\to \infty} u_n, v = \lim_{n\to \infty} \partial_{\alpha}u_n. \;\text{Then } v = \partial_{\alpha} u $$
Una vez que haya comprobado todo esto, habrá mostrado $$\left(C^k(\Omega),\sum\limits_{|\alpha|\leq k} \sup\limits_{x\in \Omega} |\partial_{\alpha}(\cdot)|\right)\text{ is a Banach space.}$$ A continuación, consulte la primera parte sobre $C^{k,\gamma}(\Omega)$ .
