Sea $f:X\to Z$ sea un morfismo de variedades cuasi proyectivas. Si $Y\subset Z$ es una variedad cuasi proyectiva tal que $Y\supset f(X)$ ¿es cierto que $f:X\to Y$ ¿es un morfismo?
La respuesta es sí si $Y\subset Z$ está abierto.
(Mi definición de morfismo entre variedades cuasi-proyectivas es éste .)
Para la cuestión que nos ocupa, creo que es importante entender qué se entiende por $Y \subset Z$ es una variedad cuasi proyectiva. El problema es cuando ese mapa de inclusión no es un morfismo. Por ejemplo, $Y$ podría ser algún conjunto cuya estructura cuasi-proyectiva viene dada por una biyección a alguna variedad cuasi-proyectiva que se asienta bien en algún espacio proyectivo, pero como subconjunto de $Z$ es bastante feo. Piensa en un subconjunto disperso de $Z$ que tiene la misma cardinalidad que el campo de los números complejos. (Necesitarías un ejemplo más complicado para ocuparte de las demás hipótesis, pero esto es un comienzo).
Así que voy a suponer que la inclusión $Y \subset Z$ es un morfismo. (Si $Y$ es localmente cerrado (abierto en su cierre) en $Z$ todo con respecto a la topología de Zariski en $Z$ ).
También voy a suponer que la "demostración topológica dejada como ejercicio al lector" de user45150 se mantiene, lo que significa que las hipótesis implican que $f: X \to Y$ es continua. Este es el caso cuando $Y$ es un subespacio topológico de $Z$ .
Si $g: Z \to k$ es una función regular, entonces $g|_Y$ es regular en $Y$ por la suposición de que la inclusión es un morfismo. Precomponiendo $g|_Y$ con $f$ da la misma función en $X$ como precomposición $g$ por lo que obtenemos una función regular sobre $X$ de esta manera.
Por definición, hay que demostrar que dado un conjunto abierto $V \subset Y$ y una función regular $\varphi: V \to k$ entonces $\varphi \circ f: f^{-1}(V) \to k$ es una función regular. Ha considerado el caso $V = Y$ pero no entiendo por qué una función regular arbitraria sobre $Y$ puede extenderse a una función regular sobre $Z$ .
Lo he mostrado en el caso $Z$ es una variedad afín y $Y \subset Z$ está cerrado, ¿cómo puedo mostrarlo en general?
Veo que me he hecho un pequeño lío.
¿Qué tal si suponemos que $Y$ es localmente cerrado en $Z$ con respecto a la topología inducida de Zariski.
Entonces como dices que sabes hacer el caso donde $Y$ es abierta, basta con considerar el caso en que $Y$ es cerrado (observando su cierre en $Z$$ \ldots$ recuerda que $Y$ es abierto en su cierre por nuestra suposición de localmente cerrado en $Z$ ).
Sea $V$ estar abierto en $Y$ . Existe $U$ abrir en $Z$ con $U\cap Y=V$ . Esto es así por la definición de la topología inducida. Obsérvese que $V$ está cerrado en $U$ desde $Y$ está cerrado en $Z$ .
Trabajando sobre $U$ en lugar de sobre $Z$ podemos suponer $U=Z$ y $V=Y$ .
Excepto en el caso afín, no suele ser cierto que las funciones regulares sobre $Y$ se extienden a las funciones sobre $Z$ . Sin embargo, podemos reducirlo al caso afín, como sigue. Sea $g$ sea una función regular sobre $Y$ . Portada $Z$ por afín se abre $U_i$ y que $V_i=U_i\cap Y$ . Éstas siguen siendo afines ya que están cerradas en la afinidad $U_i$ . Son una cubierta abierta de $Y$ .
Sea $g_i$ sea la restricción de $g$ a $V_i$ . Extenderlo a una función regular $G_i$ en $U_i$ . No pretendemos pegar $G_i$ a una función regular sobre $Z$ . Sin embargo, podemos retroceder $G_i$ a $f^{-1}(U_i)$ . Usando ese $f:f^{-1}(U_i)\to U_i$ factores a través del subconjunto cerrado $V_i$ vemos que $g_i\circ f$ de acuerdo con $G_i\circ f$ por lo que las primeras también son funciones regulares. Se pegan a una función regular en $X$ ya que se trata de una cuestión topológica que tenemos entre manos y dijimos que eso debería estar bien y centrarnos en el aspecto del álgebra.
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