Por qué este resultado en este ODE

Question

Nunca he entendido por qué la constante de integración en una EDO está relacionada con una condición inicial. Por ejemplo, supongamos la siguiente EDO con una condición inicial $X(0)=x_0$ .

$X'(t)=cX(t):\frac{dX}{X}=cdt\Longrightarrow\ln X-\ln x_0=ct\Longrightarrow X(t)=x_0e^{ct}$

¿Por qué surge una $\ln x_0$ y ninguna otra constante ordinaria $C$

Gracias

Answer 1

Puede utilizar una constante ordinaria $C$ :

$$\ln X=ct+C$$ $$X=e^{C}e^{ct}$$

Ahora, ¿cuál es la condición inicial? Es el valor $X(0)$ :

$$X(0)=e^Ce^0=e^C$$

Por tanto, el valor inicial en esta ecuación es $e^C$ por lo que, por una cuestión de notación, introducimos $x_0=e^C$ como valor inicial en lugar de dejarlo en función de $C$ .

Answer 2

Integrar. Obtenemos $$\ln X=ct+C.\tag{1}$$ Antes de yendo más allá, evaluemos $C$ . En $t=0$ tenemos $X=x_0$ . Sustituyendo en la ecuación (1), obtenemos $$\ln x_0=C,$$ o equivalentemente $$\ln X-\ln x_0=ct.$$ Ahora toma el exponencial de ambos lados.