¿Qué son los "instantánea" de las tasas de cambio, realmente?

Question

Aquí es como yo lo veo (por favor lea la siguiente si no se puede, porque hago un montón de argumentos personas han hecho ya):

Vamos a tomar velocidad instantánea, por ejemplo. Si verdaderamente instantáneo, entonces no hay ningún cambio en $$ x (tiempo), ya que no hay tiempo de intervalo.

Por lo tanto, en $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, $h$ en realidad debería ser cero (no arbitrariamente cercano a cero, ya que todavía sería un intervalo) y por lo tanto la velocidad instantánea es indefinido.

Si "instantáneo" es sólo una figura retórica de "muy muy muy pequeño", entonces tengo dos problemas:

En primer lugar, bueno no se instantáneo a todos en el sentido de "en un solo instante".

En segundo lugar, cómo es "muy, muy pequeño" conceptualmente diferente de la "pequeña"? Lo que es realmente la diferencia entre considerando $1$ segundo y $10^{-200}$ de un segundo?

He oído que algunas personas hablan de "infinitamente pequeño" cantidades. Esto no tiene ningún sentido para mí. En este caso, ¿cuál es el proceso por el cual un número que va desde "no infinitamente pequeño" a "ok, ahora eres infinitamente pequeño"? Dónde está la línea divisoria en el grado de pequeñez, más allá de que un número infinitamente pequeño?

Entiendo que $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ como el límite de una secuencia infinita de razones, yo no tengo ningún problema con eso.

Pero pensé que el punto de un límite y el infinito en general, es que nunca llegarallí. Por ejemplo, cuando la gente dice "la suma de una serie geométrica infinita", en realidad quieren decir "el límite", ya que no se puede sumar una infinidad de términos en la aritmética sentido de la palabra.

Así que de nuevo en este caso, ya que nunca se llega al límite de $h$ es siempre cierto intervalo, y por tanto, el tipo no es "instantáneo". Mismo problema con integrales en realidad; ¿cómo se puede agregar hasta un número infinito de términos? Dice que se puede agregar hasta un infinito o términos implica que el infinito es un número fijo.

Answer 1

En matemáticas, la intuición y no hay rigor. Diciendo: $$ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ es una rigurosa instrucción. Es muy formal. Diciendo: "la derivada es la tasa instantánea de cambio" es intuitivo. No tiene ningún significado formal whatsovever. Muchas personas encuentran que es útil para informar a sus sentimientos acerca de derivados. Edición no debería subestimar la importancia de los sentimientos. Tendrás que confiar en tu instinto, si alguna vez quieres probar cosas difíciles.

Dicho esto, aquí hay razón por qué usted debe encontrar que es útil. Si es demasiado esponjoso a ser útil para usted que está bien. Pero necesitarás algo de intuición sobre lo que los derivados se supone que se describe. Me gusta pensar que es como "si me miró mis ojos con tanta fuerza que $f$ convirtió lineal cerca de algún punto, entonces $f$ vería $f'$ cerca de ese punto." Encontrar algo que funcione para usted.

Answer 2

Pensar de una montaña: lejos es casi plana; cerca de la parte superior es la más empinada.

Si le preguntas "¿Cómo empinada es donde estoy parado ahora?", estás haciendo exactamente la misma cosa como "¿Cuál es la tasa de cambio de mi elevación con respecto a mi posición aquí?"

Creo que debería ser bastante intuitivo; eso es lo instantáneo de la tasa de cambio medios.

(Nota: en este caso, se puede mover en dos independientes de las direcciones: norte/sur y este/oeste. Eso significa que hay una tasa de cambio de elevación para cada una de las direcciones en cada posición posible en el suelo. Pero en tu caso, sólo estás tratando con el tiempo, que sólo puede ir hacia adelante o hacia atrás, y por lo tanto, no sólo un número de preocuparse en cada instante, no dos).

Answer 3

Como el aceptado respuesta se dijo, el inglés, idioma de instrucción es informal y existe para proporcionar la intuición sólo.

Eso no quiere decir que podría ser que no sea refinado.

Si uno rewords a

Rate of change applying at a specific instant

entonces yo creo que esto es coherente con:

1. Una tasa de cambio que se define sólo en los intervalos de
2. Los intervalos de ser arbitrariamente pequeño
3. Tenemos un único valor significativo para un instante dado, siempre que el límite exista.

Answer 4

Voy a responder a su pregunta con una pregunta.

Usted está conduciendo un coche. 60 millas por hora es de 88 metros por segundo (que es bastante fresco en y de sí mismo. Se mira hacia abajo en un texto durante 1/2 segundo? Movió 44 pies). Ahora, cuando me pregunte donde estabas en un momento dado, podría haber sido en cualquier lugar dentro de +/- 44 pies. Así que se puede decir "que la 1/100ª de segundo estás preguntando?" Pero 44 pies es de 528 pulgadas, por lo que incluso si digo que en el tiempo = 6.31 segundos después de las 2:30, sólo se conoce dentro de una de 10 pulgadas de la gama.

¿Puede decirme exactamente dónde estás si usted está en movimiento?

Instantánea de la tasa es un cálculo concepto, pero que debe ser comprensible para usted como la pendiente de una línea tangente.

La línea tangente a la parábola tiene una pendiente de 2. Aunque el "pendiente" es sólo un punto.