El conjunto $S$ contiene......

Question

Sea $S$ sea el conjunto de 3 $\times$ 3 matriz real $A$ con $$A^TA= \left( \begin{array}{} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{array}\right).$$ A continuación, el conjunto $S$ contiene

1. una matriz nilpotente

2. una matriz de rango uno

3. una matriz de rango dos

4. una matriz asimétrica distinta de cero

Aquí $S$ contiene una matriz de rango 1, Take $\left( \begin{array}{} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{array}\right)$ sí mismo. Estoy confundido con otras opciones, ayúdame.

Answer 1

La respuesta 2 es correcta.

Para 1, considere $$ \pmatrix{0&0&0\\1&0&0\\0&0&0} $$

Para 3, observe que $A$ y $A^TA$ tienen el mismo rango para cualquier $A$ .

Para 4: si $A$ es $3 \times 3$ , sesgada-simétrica, y distinta de cero, entonces $A$ debe tener rango $2$ (¿por qué?).