Demostraciones claras de propiedades del espacio proyectivo

Question

¿Hasta dónde se puede llegar en la demostración de hechos sobre el espacio proyectivo utilizando sólo su propiedad universal?

¿Se puede demostrar el teorema de Serre sobre la generación por secciones globales, calcular la cohomología, clasificar todos los haces de líneas invertibles en un espacio proyectivo?

No me gustan muchas demostraciones de algunos hechos técnicos básicos muy estéticos porque hay que considerar ideales primos homogéneos, localizaciones homogéneas, etc. ¿Existen demostraciones conceptuales limpias y bonitas que eviten estos inconvenientes?

Si incluye referencias en su respuesta sería de gran ayuda, gracias.

Answer 1

Creo que la respuesta es "probablemente no". La razón es que el espacio proyectivo tiene dos propiedades universales que se utilizan para demostrar diferentes tipos de cosas sobre ella. Una de ellas es la elegante propiedad universal que te gusta, y la otra es la torpe que resulta desagradable.

Aunque cada propiedad universal implica a la otra (ya que identifica de forma única al espacio proyectivo), me parece poco probable que se pueda hacer algo de forma efectiva si se intenta evitar una de ellas por completo.

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Una propiedad universal facilita la comprensión de los mapas a espacio proyectivo:

$$ Hom(T,\mathbb P^n) = \{\mathcal O_T^{n+1}\twoheadrightarrow \mathcal L| \mathcal L\text{ a line bundle}\} $$

Sin hacer un gran esfuerzo (es decir, reproducir la teoría habitual), me sorprendería que se pudiera utilizar esta propiedad universal para demostrar que no existen funciones regulares no constantes en $\mathbb P^n$ .

Espero que las construcciones que se retraen de forma natural a lo largo de morfismos (por ejemplo, haces de líneas, funciones regulares) se comporten como morfismos de espacio proyectivo, por lo que sería extraño que se pudiera atacar a tales construcciones con esta propiedad universal.

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Otra propiedad universal facilita la comprensión de los mapas de espacio proyectivo: $Hom(\mathbb P^n,T)$ es el igualador de los dos mapas de restricción $Hom(\coprod_{i=0}^n \mathbb A^n,T)\rightrightarrows Hom(\coprod_{i,j}\mathbb A^{n-1}\times (\mathbb A-0),T)$ .

Supongo que este es el que no te gusta, pero tenemos suerte de tenerlo ya que en realidad hace posible que tenga sentido que el espacio proyectivo tenga propiedades locales Zariski (por ejemplo, ser suave, $n$ -dimensional, etc.), y por lo tanto hace posible hacer geometría en él.

Answer 2

Estoy de acuerdo con Anton en que sería demasiado esperar obtener resultados serios (por ejemplo, cohomología de haces de líneas) a partir de la "bonita" propiedad universal del espacio proyectivo, pero sí se puede demostrar que no hay funciones regulares no constantes en $\mathbb{P}^n$ utilizando únicamente la propiedad universal.

En concreto, basta con comprobar que $\mathbb{P}^n$ es adecuada y está conectada. Para la propiedad, se puede utilizar el criterio valorativo. A saber, sea $R$ sea un anillo de valoración y $K$ su campo de fracción. Entonces un mapa de $\operatorname{Spec}(K)\to \mathbb{P}^n$ es un suryecto $K^{n+1}\to K$ entonces la imagen de $R^n\hookrightarrow K^n\to K$ donde la inclusión es la obvia, es isomorfo a $R$ . En particular, el mapa $K^{n+1}\to K$ se eleva a un mapa suryectivo $R^{n+1}\to R$ que es un mapa $\operatorname{Spec}(R)\to \mathbb{P}^n$ cumpliendo el criterio valorativo (su unicidad hasta automorfismos del diagrama dado también está clara).

En cuanto a la conectividad, basta con comprobar que $\mathbb{P}^n$ está conectada por trayectorias en el sentido siguiente: para dos puntos geométricos cualesquiera, representados por suryecciones $x_0: \bar k^{n+1}\to\bar k, x_1: \bar k^{n+1}\to\bar k$ existe un "camino" que los conecta, es decir, un mapa $f: \mathbb{A}^1\to \mathbb{P}^n$ con $f(0)=x_0, f(1)=x_1$ . Se trata de un suryecto $\bar k[t]^{n+1}\to \bar k[t]$ tal que la reducción de mod $(t), (t-1)$ da los mapas deseados. Traduciendo, debemos elegir polinomios $f_1, ..., f_{n+1}$ tal que $f_i(0)=x_0(e_i), f_i(1)=x_1(e_i)$ donde $e_i$ son la base estándar de $\bar k^{n+1}$ y donde todos los $f_i$ no desaparecen simultáneamente.

Pero se puede hacer por interpolación de Lagrange; elija cualquier $f_1$ con los valores deseados en $0,1$ entonces cualquier $f_2$ con los valores deseados en $0, 1$ y no desaparece en los otros ceros de $f_1$ entonces cualquier $f_3$ análogamente, y así sucesivamente.