Prueba de que el Mapa de Gauss para una incrustación regular $M \subset \mathbb{R}^3$ es una biyección si y sólo si $M$ es convexo

Question

Sea $M \subset \mathbb{R}^3$ sea una superficie regularmente empotrada. ¿Cómo puedo mostrar el mapa de Gauss $n:M \to \mathbf{S}^2$ es biyectiva si y sólo si $M$ ¿es convexo?

En sentido inverso, pensaba utilizar la definición de convexidad con plano tangente: $\forall p \in M$ , la totalidad de $M$ se encuentra en un lado del plano tangente $T_pM$ . Por tanto, la curvatura en cada punto debe ser única. De lo contrario, habría 3 planos tangentes a $M$ que son paralelas. Contradicción.

No estoy seguro de cómo demostrar la dirección hacia delante.

Answer 1

Sea $n$ sea una biyección y tomemos algún punto $p\in M$ . Supongamos que $n$ es la normal unitaria exterior. Elige un plano $P$ ortogonal a $n(p)$ tal que $P\cap M$ es vacío, y tal que $P$ se encuentra en ese lado de $M$ tal que $n(p)$ apunta en la dirección de $P$ (es decir $\gamma(t) := p + tn(p)$ se reunirá $P$ para algún positivo $t$ )

Ahora traduce $P$ en dirección de $M$ a lo largo de $\gamma$ . Denotemos por $P_t$ que traduce lo que cumple $\gamma$ en $t$

Por razones de continuidad, habrá una primera $t_0>0$ tal que $P_{t_0}$ conoce $M$ . Por ello $t_0$ , $P_{t_0}$ será tangente a $M$ en cada punto de intersección. Pero como $n$ es una biyección, esto significa que $P_{t_0}$ conoce $M$ en $p$ (sólo). Así que $M$ se encuentra enteramente en un lado de un plano tangente a $M$ en $p$ . Desde $p$ era arbitraria, $M$ es convexa. (Suponiendo que conozcas este tipo de caracterización de los cuerpos convexos).