¿Las funciones generadoras de factoriales decrecientes tienen la propiedad de multiplicación?

Question

Tanto las funciones generatrices ordinarias como las funciones generatrices exponenciales tienen la siguiente propiedad de multiplicación. Si $(a_n)$ y $(b_n)$ son secuencias de números enteros no negativos y $(\Sigma_n a_n x^n)(\Sigma_n b_n x^n) = \Sigma_n c_n x^n$ entonces $(c_n)$ es siempre una secuencia de enteros no negativos. Del mismo modo, si $(a_n)$ y $(b_n)$ son secuencias de números enteros no negativos y $(\Sigma_n a_n \frac{x^n}{n!})(\Sigma_n b_n \frac{x^n}{n!}) = \Sigma_n c_n \frac{x^n}{n!}$ entonces $(c_n)$ es siempre una secuencia de enteros no negativos.

Mi pregunta es, ¿las funciones generadoras de factoriales decrecientes tienen la misma propiedad de multiplicación? Es decir, si $(a_n)$ y $(b_n)$ son secuencias de números enteros no negativos y $(\Sigma_n a_n (x)_n)(\Sigma_n b_n (x)_n) = \Sigma_n c_n (x)_n$ entonces es $(c_n)$ ¿es siempre una secuencia de números enteros no negativos? Si no es así, ¿alguien conoce un contraejemplo?

Answer 1

Sí, $(c_n)_{n\ge 0}$ será siempre una secuencia de enteros no negativos. Para demostrarlo, basta con demostrar que para cada $n,m\in \mathbb N$ que $(x)_n (x)_m$ puede escribirse como un $\mathbb N$ -combinación lineal de los factoriales descendentes $(x)_k$ . De hecho, es cierto que $$ (x)_n(x)_m=\sum_{k\ge 0}\binom{n}k\binom{m}kk!\,(x)_{n+m-k}\tag1 $$ Para demostrar esta identidad polinómica, basta con demostrar que es cierta siempre que $x$ es un número entero positivo. En ese caso, la identidad es equivalente a $$ \binom{x}{n}\binom{x}{m}=\sum_k \frac{(n+m-k)!}{(n-k)!\,(m-k)!\,k!}\binom{x}{n+m-k} $$ y hay una prueba combinatoria fácil. A saber, ambos lados cuentan el número de maneras de tomar un conjunto de tamaño $x$ pintura $n$ de los elementos rojo, y $m$ de los elementos de color azul, lo que permite pintar un elemento de ambos colores (el número de estos elementos "morados" corresponde a $k$ ).

Utilizando $(1)$ obtenemos que $$ \left(\sum_{i\ge 0}a_i(x)_i\right)\left(\sum_{j\ge 0}b_j(x)_j\right)=\sum_{i,j}a_ib_j(x)_i(x)_j=\sum_{i,j,k}a_ib_j\binom{i}{k}\binom{j}kk!(x)_{i+j-k} $$ Sustituyendo $i+j-n$ para $k$ se convierte en $\sum_{i,j,n}a_ib_j\binom{i}{i+j-n}\binom{j}{i+j-n}(i+j-n)!(x)_n$ lo que implica la siguiente fórmula para $c_n$ : $$ \boxed{c_n=\sum_{i,j}a_ib_j\binom{i}{n-j}\binom{j}{n-i}(i+j-n)!} $$ La suma abarca todos los $i,j\ge 0$ para lo cual $i+j\ge n$ pero los únicos términos que contribuyen positivamente son aquellos para los que $\max(i,j)\le n$ . Por supuesto, siempre es un número entero positivo si $a_i$ y $b_j$ son.

Answer 2

Al igual que los monomios, los factoriales decrecientes forman una base que abarca los polinomios. Escribe $x^n=\sum_ku_{nk}(x)_k$ así que $$[(x)_n]\sum_ra_r(x)_r\sum_sb_s(x)_s=\sum_{mrs}a_rb_su_{mn}\underbrace{[x^m](x)_r(x)_s}_{\in\Bbb Z},$$ donde $[f_j]g$ denota el coeficiente de un elemento de base $f_j$ en $g$ . Ahora sólo tenemos que comprobar el $u_{nk}$ son números enteros. De hecho $u_{nn}=1,\,x^n-(x)_n=\sum_ku_{(n-1)k}(x)_k$ obtiene el $u_{nk}$ con $k<n$ como combinaciones lineales sobre $\Bbb Z$ de la $u_{(n-1)k}$ .