Estoy intentando aprender Electrodinámica siguiendo el libro de Griffiths. Esto es probablemente lo que se considera una "pregunta de tarea", pero como no tengo un instructor a quien pedir ayuda, espero que alguien aquí pueda hacerlo. Si esto realmente no está permitido aquí, por favor cierre esto con mis disculpas
Griffiths Introduction to Electrodynamics 4th Ed El problema 2.50 pide calcular el campo eléctrico y luego la distribución de carga basada en un potencial $V(r)=A \frac{e^{-\lambda r}}{r}$ .
Encontré el campo eléctrico: $$E=\frac{Ae^{-\lambda r}(1+\lambda r)}{r^2}\hat r$$ sin demasiados problemas. Para obtener la distribución de la carga a partir del campo eléctrico se aplica la ley de Gauss en forma diferencial:
$$\rho=\epsilon _0 \nabla \cdot E$$ $$=\epsilon _0 \nabla \cdot \Biggl(\frac{Ae^{-\lambda r}(1+\lambda r)}{r^2}\hat r\Biggl) $$
Desde $\nabla\cdot E$ en coordenadas esféricas es $\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2E_r + ... E_\theta + ... E_\phi$ y como E no tiene términos theta o phi, simplemente apliqué la fórmula, obteniendo:
$$=\epsilon _0 \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\Biggl(r^2 \frac{Ae^{-\lambda r}(1+\lambda r)}{r^2}\Biggl)$$
En $r^2$ cancela y moviendo A fuera del dericvativo, obtengo: $$=\frac{A\epsilon _0}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(e^{-\lambda r})(1+\lambda r) $$ Pasando la derivada por Wolfram Alpha y reordenando da: $$\rho=-\frac{A\epsilon _0}{r}(e^{-\lambda r})\lambda ^2 $$
Sin embargo, esto no es lo que tenía el manual de soluciones (o Chegg). Más bien, en lugar de tomar la divergencia de E, aplicaron una regla del producto: $$=\epsilon _0 \Biggl(Ae^{-\lambda r}(1+\lambda r)\nabla \cdot \biggl( \frac{\hat r}{r^2}\biggl)+ \biggl( \frac{\hat r}{r^2}\biggl) \nabla \cdot (Ae^{-\lambda r}(1+\lambda r)) \Biggl)$$ y procedió a partir de ahí para obtener $$\rho=A \epsilon_0 \Biggl(4 \pi \delta^3(r)-\frac{\lambda^2}{r}e^{-\lambda r} \Biggl)$$
Puedo ver lo que hicieron, y puedo seguir el cálculo, pero no entiendo por qué mi método era incorrecto. ¿Alguien puede explicarme en qué me equivoqué?
Gracias.
