Demostrar que $X= \{ (x,y): y = mx + c \}$ es homeomorfo a $\mathbb R$ .

Question

Sea $m$ y $c$ sean números reales distintos de cero y $X$ el subespacio de $\mathbb R^2$ dada por $X =\{ (x,y): y = mx + c \}$ . Demostrar que $X$ es homeomorfo a $\mathbb R$ .

Me cuesta averiguar cómo definir una función homeomórfica entre estos dos conjuntos, ¿alguien puede ayudarme, por favor?

Answer 1

Sugerencia : Podría ser más fácil demostrar un hecho más general. Sea $f\colon X\to Y$ sea cualquier función continua (entre espacios topológicos arbitrarios). Demuéstrese que $x\mapsto (x,f(x))$ define una incrustación homeomórfica de $X$ en $X\times Y$ .

Answer 2

Definir la biyección $f : \mathbb R \to X$ por $fx = (x, mx + c)$ . Sea $(p_n)$ sea una sucesión convergente en $\mathbb R$ con $p_n \to p$ . Entonces, la secuencia $(fp_n) = (p_n, mp_n + c)$ también converge a $(p, mp + c)$ . La biyección inversa $f^{-1} : X \to \mathbb R$ se define por $f(x, mx + c) = x$ . Así pues, consideremos una secuencia convergente $(q_n, mq_n + c)$ en $X$ con $(q_n, mq_n + c) \to (q, mq + c) \in X$ . De ello se deduce que $(q_n, mq_n + c) \to (q, mq + c)$ la secuencia $f^{-1}(q_n,mq_n + c) = (q_n)$ también converge y $q_n \to q$ . Por lo tanto, $f^{-1}$ preserva la convergencia secuencial, y $f$ así definida es un homeomorfismo.

Answer 3

He aquí una forma relativamente sencilla de verlo.

Tenga en cuenta en primer lugar que $\iota :\Bbb R \to \Bbb R\times \{0\}\subset \Bbb R^2$ con la topología del subespacio es un homeomorfismo.

Entonces $m=\tan\theta$ y $A:\Bbb R^2\to \Bbb R^2$ por $(x,y)\mapsto \pmatrix{\cos\theta & -\sin \theta \\ \sin\theta & \cos\theta}\pmatrix{x\\ y}$ . A también es un homeomorfismo.

Por último $T_c:\Bbb R^2\to \Bbb R^2$ por $(x,y)\mapsto (x,y+c)$ otro homeomorfismo.

En total $X= T_c(A(\iota(\Bbb R)))$ ya que $A(\iota(\Bbb R))=\{a(\cos\theta,\sin\theta)\mid a\in \Bbb R\}$ y después de aplicar $T_c$ obtenemos el conjunto $\{(a\cos\theta, a\sin\theta+c)\mid a\in \Bbb R\}$ que satisface $$y= a\sin\theta + c = a\cos\theta \tan\theta +c= mx+c$$

Por restricciones apropiadas de los mapas anteriores tenemos un homeomorfismo $f:\Bbb R\to X$ con $$f=T_c\bigg|_{X_1} \circ A\bigg|_{X_2}\circ \iota$$ donde $X_2=\iota(\Bbb R)$ y $X_1= A(X_2)$ .