Representación de números naturales como matrices mediante el uso de $\otimes$

Question

Lo que quiero hacer es encontrar una representación matricial única para los números naturales. Digamos que tengo el número $n$ ¿cómo puedo representar este número como una matriz en la que puedo hacer la multiplicación matricial en otras representaciones de números naturales, por ejemplo $m$ para obtener una matriz que dé como resultado el número real que sería el producto, es decir, una matriz que represente $m*n$ He encontrado algo parecido a lo que estoy queriendo hacer si tomo el producto tensorial de 2 matrices Por ejemplo, digamos que me gustaría representar los números $a*b$ y $c*d$ donde $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ y son primos : $$ \mbox{} \left[\begin{array} \\ a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right] \otimes \mbox{} \left[\begin{array} \\ c & 0 \\ 0 & d \end{array} \right] = \mbox{} \left[\begin{array} \\ a*c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a*d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b*c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b*d \end{array} \right]$$ Pero como el producto debe ser $a*b*c*d$ Me gustaría tener la representación de la matriz $$\mbox{} \left[\begin{array} \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d \end{array} \right]$$

Así que básicamente estoy buscando representar cada número natural de forma única en formato de matriz en la que alguna operación me da una nueva matriz que representa de forma única el producto de números naturales. Espero hacer esto con el producto tensorial ya que eventualmente me gustaría representar números de forma única en un espacio complejo de Hilbert.

Gracias por su perspicacia,

Brian

Answer 1

Sea $\bf x$ vector contienen números naturales: ${\bf x}(a) = [x_1(a),x_2(a),\cdots]$ que es la multiplicidad del primo respectivo en $a$ según alguna enumeración de primos $[p_1,p_2,\cdots]$ :

$$a = \prod_{\forall i} {(p_i)}^{x_i(a)}$$

Ahora puede construir la matriz del producto exterior de los elementos de la base estándar con los vectores columna: $${\bf e_i} = \cases{1, \text{position }i\\0, \text{all other positions}}$$ $${\bf M}(a) = \sum_{\forall i} ({\bf e_i}{\bf e_i}^T)\cdot {(p_i)}^{{x_i}(a)}$$

Ahora un simple producto matricial ${\bf M}(a) {\bf M}(b) = {\bf M}(ab)$ tendrá la misma representación para $ab$ como lo ha hecho para $a$ y $b$ y no tienes que usar el producto de Kronecker. Tenga en cuenta también que $$\det({\bf M}({a})) = \prod_{\forall i}({p_i})^{x_i(a)}=a$$

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Una alternativa sería almacenar una matriz diagonal en bloque con entradas: $\left[\begin{array}{cc}1&0\\x_i&1\end{array}\right]$. This way the matrix multiplication would give addition of the exponents which satisfies $$p^{x_i(a)} p^{x_i(b)} = p^{x_i(a)+x_i(b)}$$ One advantage of this representation is that we can be sure that we will get away with an integer matrix, even when doing division (although we must allow negative integers). This construction you can build with $${\bf M_2}(a) = {\bf I}_n \otimes \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] + \left(\sum_{\forall i} {\bf e_i} {\bf e_i}^T x_i(a) \right)\otimes \left[\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right]$$

Así que por fin tenemos una excusa para usar el querido $\otimes$ Producto de Kronecker.

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Pequeños ejemplos: si utilizamos $p = [2,3,5,\cdots]$ números $6$ y $9$ tendrá representación:

$${\bf M}(6) = \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{array}\right], \hspace{1cm} {\bf M}(9) = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&9&0\\0&0&1\end{array}\right]$$ Y podemos confirmarlo: $${\bf M}(6){\bf M}(9) = \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&27&0\\0&0&1\end{array}\right] = {\bf M}(54), \det({\bf M}(54)) = 2\times 27 = 54 = 6\times9$$

Y el segundo tipo, en el que por simplicidad dibujamos una cuadrícula para mostrar la estructura de bloques impuesta por el producto de Kronecker:

$${\bf M_2}(6) = \left[\begin{array}{cc|cc|cc}1&0&0&0&0&0\\\bf 1&1&0&0&0&0\\\hline0&0&1&0&0&0\\0&0&\bf 1&1&0&0\\\hline0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&\bf 0&1\end{array}\right],\hspace{1cm} {\bf M_2}(9) = \left[\begin{array}{cc|cc|cc}1&0&0&0&0&0\\\bf 0&1&0&0&0&0\\\hline0&0&1&0&0&0\\0&0&\bf 2&1&0&0\\\hline0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&\bf 0&1\end{array}\right]$$

Los números en negrita marcados en la matriz son los exponentes $6 = 2^{\bf 1} \cdot 3^{\bf 1} \cdot 5^{\bf 0}, 9 = 2^{\bf 0} \cdot 3^{\bf 2} \cdot 5^{\bf 0}$