Sobre la ley de los grandes números

Question

Me he encontrado con un problema:

Sea $X_1,X_2,...$ sean variables aleatorias independientes con distribución uniforme(0,1) del espacio de probabilidad $(\Omega,\cal F,P)$ . Demuéstralo:

$$P\left(\bigcap_{(n_1,n_2,...)}\left\{\omega\in\Omega:\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{X_{n_1}(\omega)+...+X_{n_k}(\omega)}{k}=\frac{1}{2}\right\}\right)=0$$

donde la intersección se toma sobre todas las secuencias crecientes $(n_1,n_2,...)\in\mathbb N^\mathbb N$ .

He conseguido demostrar que $P(\omega\in\Omega: \{X_1(\omega),X_2(\omega),X_3(\omega)...\} \text{is dense in (0,1)})=1$ que se decía que estaba relacionado con la resolución del problema anterior. No veo cómo el resultado que probé relacionado con el problema y no tienen ninguna pista para empezar..También puedo ver que es un poco relacionado con SLLN? Pero no estoy seguro...

Answer 1

Considere el subconjunto de $\Omega$ definido como $$A=\bigcap_{(n_k)}\left\{\omega\in\Omega\,;\,\lim_k\frac1k(X_{n_1}(\omega)+\cdots+X_{n_k}(\omega))=\frac12\right\}.$$ Casi seguro con respecto a $\omega$ , $X_n(\omega)\leqslant.1$ para infinitas $n$ digamos que cada $n$ en la secuencia creciente $(n_k)$ . Esto no basta para demostrar que $\frac1k(X_{n_1}(\omega)+\cdots+X_{n_k}(\omega))$ converge pero lo suficiente para estar seguros de que no converge a $1/2$ desde $\frac1k(X_{n_1}(\omega)+\cdots+X_{n_k}(\omega))\leqslant.1$ para cada $k$ . Así, $\omega$ no está en $A$ .

Esto demuestra que $A\subset B$ donde $B$ es un acontecimiento y $P(B)=0$ no que la intersección (incontable) $A$ es un acontecimiento. He aquí un enfoque más elaborado, que resuelve este problema de mensurabilidad.

Fijar $\omega$ y considerar el conjunto $K(\omega)=\{n\mid X_n(\omega)\ne\frac12\}$ entonces ocurre una de las siguientes cosas:

$\quad$ (i) $K(\omega)$ es finito

$\quad$ (ii) Existe $x\gt\frac12$ tal que $U_x(\omega)=\{n\mid X_n(\omega)\gt x\}$ es infinito

$\quad$ (iii) Existe $x\lt\frac12$ tal que $L_x(\omega)=\{n\mid X_n(\omega)\lt x\}$ es infinito

En los casos (ii) y (iii), considere la secuencia $(n_k)$ que enumera $U_x(\omega)$ o $L_x(\omega)$ . Entonces $\frac1k(X_{n_1}(\omega)+\cdots+X_{n_k}(\omega))$ no converge a $\frac12$ bien porque no converge, bien porque converge a otro valor. En el caso (i), $\omega$ está en $A$ .

Resumiendo, $A=\{K\lt\infty\}=\{S\lt\infty\}$ donde $S=\sum\limits_n\mathbf 1_{X_n\ne1/2}$ . Cada $\mathbf 1_{X_n\ne1/2}$ es una variable aleatoria, por lo que $A$ es, en efecto, un acontecimiento.