Fórmula binominal para $(x+1)^{1/3}$ (relacionado con el teorema del binomio de Newton)

Question

Sé que

$$\displaystyle \sqrt{1+x} = \sum_{j=0}^{\infty}\left( \frac{(-1)^{(j-1)}}{2^{2j-1}\cdot(2j-1)}\binom{2j-1}{j}x^j\right). $$

Ahora, quiero evaluar $\sqrt[3]{1+x}$ pero atascado en algún punto:

Para evaluar $\sqrt[3]{1+x}$, primero trató de encontrar lo $\binom{1/3}{j}$ es

$$\binom{1/3}{j} = \frac{(1/3 \cdot (1/3-1) \cdot (1/3-2) \cdots (1/3-j+1))}{j!} = \frac{(-1)^{j-1}\cdot 1\cdot 2\cdot 5\cdots (3j-4)}{3^j\cdot j!}$$

Sin embargo, no pude seguir desde aquí. Es allí una manera de escribir $1\cdot 2\cdot 5\cdots(3j-4)$ en otra forma? (O es $3\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdots(3j-5)$ posible?) Podría por favor ayudarme?

Saludos

Answer 1

Tenga en cuenta que $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$. También tenemos la identidad de $\Gamma(n) = (n-1)!$

Por lo tanto, podemos generalizar el coeficiente binomial como:

$$\binom{n}{r} = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(r + 1)\Gamma(n-r + 1)}$$

Por lo tanto: $$\binom{1/3}{j} = \frac{\Gamma(4/3)}{\Gamma(j+1)\Gamma(j + 2/3)}$$

Nota, sin embargo, que se puede ejecutar en algunas cuestiones, como $r$ (como en, $\binom{n}{r}$) debe estar en el rango de $[0, n]$.