¿Qué significa $A =\prod_{j<k \hspace{2mm} j,k \neq c,d}^{}(i_j-i_k)$ en el libro de Hungerford?

Question

Estoy tratando de analizar esta prueba en el libro de Hungerford:

Cuando se mete en la informática esto:

$$A =\prod_{\substack{j<k\\ j,k \neq c,d}}^{}(i_j-i_k)$$

¿Qué significa esto?

• ¿Significa esto que $j<k$ y $j\neq c$ et $k\neq d$ o
• ¿Significa esto que $j<k$ y $j\neq c$ et $k\neq d$ et $h\neq d$ et $k\neq c$ ?

He calculado los índices que obtendría en ambos casos en un ejemplo sencillo en el que $c=3$ , $d=5$ et $j=9$ y para el primer caso, obtendría los siguientes índices:

$$\begin{array}{cccccccc} \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ \end{array} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 4 & 6 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 5 & 6 \\ \end{array} & \text{} & \text{} & \text{} \\ \begin{array}{cc} 1 & 7 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 2 & 7 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 4 & 7 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 5 & 7 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 6 & 7 \\ \end{array} & \text{} & \text{} \\ \begin{array}{cc} 1 & 8 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 2 & 8 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 4 & 8 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 5 & 8 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 6 & 8 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 7 & 8 \\ \end{array} & \text{} \\ \begin{array}{cc} 1 & 9 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 2 & 9 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 4 & 9 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 5 & 9 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 6 & 9 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 7 & 9 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 8 & 9 \\ \end{array} \\ \end{array}$$

Para el segundo caso, obtendría los siguientes índices:

$$\begin{array}{cccccccc} \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ \begin{array}{c} \diamond \;\diamond \\ \end{array} & \begin{array}{c} \diamond \;\diamond \\ \end{array} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \text{} & \text{} & \text{} & \text{} \\ \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 4 & 6 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \diamond \;\diamond \\ \end{array} & \text{} & \text{} & \text{} \\ \begin{array}{cc} 1 & 7 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 2 & 7 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 4 & 7 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \diamond \;\diamond \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 6 & 7 \\ \end{array} & \text{} & \text{} \\ \begin{array}{cc} 1 & 8 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 2 & 8 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 4 & 8 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \diamond \;\diamond \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 6 & 8 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 7 & 8 \\ \end{array} & \text{} \\ \begin{array}{cc} 1 & 9 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 2 & 9 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \text{$\bullet$ $\bullet$} \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 4 & 9 \\ \end{array} & \begin{array}{c} \diamond \;\diamond \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 6 & 9 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 7 & 9 \\ \end{array} & \begin{array}{cc} 8 & 9 \\ \end{array} \\ \end{array}$$

Dónde $\bullet \;\bullet$ et $\diamond \;\diamond$ son los pares de índices eliminados. Mi conjetura es que se refiere al segundo caso porque parece que sólo de esta manera nos permitiría tener $\sigma(A)=A$ ya que no $(i_j - i_k)$ se modificaría. ¿Es correcto mi razonamiento?

Answer 1

Creo que Hungerford se ha metido en un aprieto con esa anotación, así que permíteme ofrecerte una forma diferente de hacer exactamente lo que hace la prueba.

Para un $n$ consideremos variables conmutativas $x_1,\ldots,x_n$ y formar la matriz de Vandermonde $V=V(x_1,\ldots,x_n)$ con $V(x)_{ij} = x_i^{j-1}$ . Es un ejercicio agradable comprobar que $ \det V$ es igual a $\prod_{i<j}(x_i-x_j)$ y, en particular, se evalúa a un valor distinto de cero siempre que escojamos valores distintos para las variables, tal como afirmó Hungerford. Llamemos a este polinomio $\Delta$ .

El grupo simétrico $S_n$ actúa sobre las variables $x_i$ por su acción sobre los índices, por lo que en particular actúa sobre cada polinomio en las variables $x_1,\ldots,x_n$ y, por tanto, en $\Delta $ .

La primera observación que hacemos es que para una transposición el determinante cambia en $-1$ ya que de la forma en que lo hemos escrito, está claro que se intercambian dos filas. Esto significa que si $\sigma$ se escribe como producto de $N$ transposiciones, entonces $\sigma \Delta = (-1)^N\Delta$ . Supongamos que $\sigma$ también se escribe como producto de $M$ trasposiciones.

Concluir que $N=M$ modulo $2$ basta con evaluar $\Delta$ en un punto digamos $p=(1,2,\ldots,n)$ como sugiere en su post, en cuyo caso $\Delta(p)\neq 0$ y obtenemos que $(-1)^N = (-1)^M$ .