Creo que la respuesta a su pregunta es "sí". Toen-Vezzosi ir sobre esto en la Proposición 2.4.15, pero aquí es una versión de por qué.
A partir de la característica cero, hay una gran diferencia entre ser un álgebra "libre" (es decir, tener algún tipo de propiedad de mapeo universal) y parecerse a un álgebra polinómica. Esto se debe a que, básicamente, todas las construcciones tienen que sustituirse por la versión derivada para que den respuestas razonables.
Por ejemplo, en la característica cero se puede tomar un espacio vectorial $V$ en $\mathbb{Q}$ y forman el álgebra "libre $$ Sym(V) = \bigoplus_{n \geq 0} Sym^k(V) $$ y esto tiene la propiedad de que los mapas de objetos de anillos conmutativos $Sym(V) \to A$ son los mismos que los mapas $V \to A$ de los objetos subyacentes. Esto funciona incluso si $V$ es un complejo en cadena.
Sin embargo, los funtores de potencia simétrica no se comportan bien integralmente: hay mapas de complejos de cadenas $C \to D$ que son equivalencias débiles tales que $Sym^k(C) \to Sym^k(D)$ no es una equivalencia débil. (Estos ejemplos tampoco son particularmente difíciles de encontrar.) Esto significa que tenemos que tomar la potencia simétrica $$ Sym^k(V) = (V^{\otimes k})_{\Sigma_k} $$ y sustituirlo por la versión derivada: producto tensorial derivado sobre cualquiera que sea su base, y funtores derivados de $\Sigma_k$ -coinvariantes.
Toen-Vezzosi mencionan el ejemplo que denominan $\mathbb{F}_p[T]$ que es libre en un espacio vectorial unidimensional sobre $\mathbb{F}_p$ . Aquí no intervienen los funtores derivados del producto tensorial, pero sí los funtores derivados de los coinvariantes, y contribuyen en gran medida (a saber, la homología de los grupos simétricos). En grado cero sólo se obtiene un álgebra polinómica sobre un único generador, pero en grado positivo (homológico) hay cosas adicionales procedentes de las operaciones de Dyer-Lashof.
EDIT: Perdón, este objeto es el objeto "liso".
Lo que parece un objeto "polinómico" es el álgebra monoide $\mathbb F_p[\mathbb N]$ . En los grupos de homología esto parece un álgebra polinómica, pero no tiene propiedades cartográficas simples que conecten con la noción de suavidad. En particular, dan una descripción del complejo cotangente derivado (que es alguna medida de lo difícil que es construir este objeto a partir de objetos "libres") y es bastante grande (ciertamente no concentrado en grado 0).
