Cómo demostrar la desigualdad $a_1^{a_1}a_2^{a_2}\cdots a_n^{a_n} > \left(\frac{a_1+\dots+a_n}{n}\right)^{a_1+\dots+a_n}$ ?

Question

Si $a_1,\dots,a_n$ son todas cantidades positivas desiguales, demuéstralo:

$$\prod_{i=1}^n a_i^{a_i} > \left(\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}\right)^{\sum_{i=1}^n a_i}$$

No se indica ninguna otra condición.

Intenté resolverlo usando logaritmos, pero no pude entender cómo puedo demostrar $${a_1\log a_1}+{a_2 \log a_2}+\dots+{a_n\log a_n} > {(a_1+\dots +a_n)} \left(\log(a+\dots+a_n)-\log(n)\right)$$

Y, por favor, dígame, ¿existe algún método estándar para resolver este tipo de problemas?

Answer 1

La pista:

Escríbelo así: $$\frac{a_1\ln{a_1}+\dots+a_n\ln{a_n}}{n}\geq\frac{a_1+\dots+a_n}{n}\ln\frac{a_1+\dots+a_n}{n}$$

y utilizar Jensen para $f(x)=x\ln{x}.$

Answer 2

De otra manera.

Es fácil ver que nuestra desigualdad no depende de la sustitución $a_1\rightarrow ta_1,\dots,a_n\rightarrow ta_n$ donde $t>0$ .

Así, podemos suponer que $a_1+a_2+\dots+a_n=n$ y tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}a\ln{a}\geq0$$ o $$\sum_{cyc}(a\ln{a}-a+1)\geq0,$$ lo cual es cierto porque $$a\ln{a}-a+1\geq0$$ para todos $a>0.$

Answer 3

Sea $n$ elementos positivos $a_1,\dots,a_n$ sean las variables y $a_1,\dots,a_n$ son sus frecuencias respectivas. Entonces el GM de estos datos es $$GM=\left(a_1^{a_1}a_2^{a_2}\cdots a_n^{a_n}\right)^{\left(\frac{1}{a_1+\dots+a_n}\right)}$$ y la correspondiente $HM$ es $$HM=\frac{a_1+a_1+a_3+\dots+a_n}{\frac{a_1}{a_1}+\frac{a_2}{a_2}+\frac{a_3}{a_3}+\dots+\frac{a_n}{a_n}}=\frac{a_1+a_2+a_3+\dots+a_n}{n}.$$ El resultado requerido se deduce del hecho de que wieghted GM $\ge$ ponderado HM. $$\mbox{weighted HM}=\frac{f_1+f_2+f_3+\dots+f_n}{\frac{f_1}{x_1}+\frac{f_2}{x_2}+\frac{f_3}{x_3}+\dots+\frac{f_n}{x_n}}$$ et $$\mbox{weighted} ~ GM=\left({x_1}^{f_1} {x_2}^{f_2} {x_3}^{f_3}\cdots{x_n}^{f_n}\right)^{\frac{1}{f_1+f_2+f_3+\dots+f_n}}.$$