Para completar la excelente descripción de Terry Tao de algunas de las ideas geométricas que subyacen a la identidad Hall-Witt, me gustaría llamar la atención sobre la interpretación dada por Loday en su artículo sobre Homotopical Syzygies (en Une dégustation topologique: Teoría de la homotopía en los Alpes suizos volumen 265 de Contemporary Mathematics, 99 - 127, AMS, 2000; libro en el sitio de la AMS ). En su sección 1.4. al examinar las sizigias / identidades entre las relaciones de la presentación obvia del grupo abeliano libre en tres símbolos, muestra cómo los conmutadores / 2-sizigias se dibujan como las caras del grafo de Cayley considerado como incrustado en una esfera (y por tanto apareciendo como un cubo vacío). Hay una 3-sizigia necesaria para construir la siguiente etapa de una resolución del grupo y que es una 3-célula que llena el cubo. La frontera de esa 3-célula puede leerse como la identidad Jacobi-Witt-Hall (JWH) (con convenciones ligeramente diferentes, más como en el artículo de Terry que en la forma original de la pregunta).
Por lo tanto, la prueba de la libertad del subgrupo conmutador de $F(x,y,z)$ no da una base útil para ese subgrupo y los conmutadores y sus conjugados no carecen de relaciones entre ellos. La identidad JWH es una de esas relaciones. La exploración de las sicigias homotópicas arroja algunos cálculos encantadores en general (¡y muchas imágenes bonitas!) (Edito: me refiero a presentaciones bastante generales.)
