Es la solución de la ecuación funcional $\widehat{F}(z) = z\widehat{G}(\widehat{F}(z))$ ¿único?

Question

Estoy leyendo el libro de Martin Aigner Curso de Enumeración y en $\S$ 3.3 La fórmula exponencial el autor enuncia y demuestra el siguiente teorema (en la página 117):

Teorema 3.8. Supongamos que $F(z) = zG(F(z))$ , $G(0) \neq 0$ . Entonces $$[z^n] F(z) = \frac{1}{n} [z^{n-1}]G(z)^n.$$

Toma, $F$ y $G$ son series de potencias formales sobre $\Bbb{C}$ en la variable $z$ . Como corolario, el autor establece la Fórmula de inversión de Lagrange .

La demostración del teorema 3.8 comienza como sigue:

Prueba. Escribimos $F(z)$ y $G(z)$ en forma exponencial, $\widehat{F}(z) = \sum_{n \geq 1} f(n) \frac{z^n}{n!}$ , $\widehat{G}(z) = \sum_{n \geq 0} g(n) \frac{z^n}{n!}$ . Para un árbol rooteado $T$ en $\{1,\dotsc,n\}$ l $$g^T := g(0)^{r_0} g(1)^{r_1} g(2)^{r_2} \dotsm,$$ donde $r_i$ es el número de vértices en $T$ con grado de salida $i$ (los bordes apuntan en dirección opuesta a la raíz). La secuencia $(r_0,r_1,r_2,\dotsc)$ se denomina tipo de $T$ . Desde $T$ tiene $n-1$ e $$\sum_{i \geq 0} r_i = n, \quad \sum_{i \geq 0} ir_i = n-1.$$ Sea $f(n) = \sum_T g^T$ sobre todos los árboles enraizados en $\{1,\dotsc,n\}$ .

A continuación, se afirma lo siguiente

Reclamación 1. $\widehat{F}(z) = \sum_{n \geq 1} f(n) \frac{z^n}{n!}$ es la solución de la ecuación funcional $\widehat{F}(z) = z\widehat{G}(\widehat{F}(z))$ .

En la prueba de la afirmación, el autor muestra que si tomamos $\widehat{F}(z) = \sum_{n \geq 1} f(n) \frac{z^n}{n!}$ donde $f(n) = \sum_T g^T$ , entonces $\widehat{F}(z)$ satisface la ecuación funcional $\widehat{F}(z) = z\widehat{G}(\widehat{F}(z))$ . Sin embargo, no se hace ningún comentario sobre la singularidad.

¿Es obvio que esta elección particular de $\widehat{F}(z)$ es de hecho el solución a la ecuación funcional $\widehat{F}(z) = z\widehat{G}(\widehat{F}(z))$ ? ¿Cómo puedo ver esto?

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El resto de la prueba es fácil de seguir. Tras establecer la afirmación 1, tenemos que $[z^n]F(z) = \frac{f(n)}{n!}$ por lo que sólo queda demostrar que $$f(n) = (n-1)! [z^{n-1}]G(z)^n.$$ Para ello se afirma y demuestra lo siguiente.

Reclamación 2. Hay precisamente $\binom{n-1}{d_1 d_2 \dotso d_n}$ árboles enraizados en $\{1,\dotsc,n\}$ en cuyo vértice $i$ tiene grado de salida $d_i$ , $\sum_{i=1}^n d_i = n-1$ .

La demostración del Teorema 3.8 se completa fácilmente a partir de aquí.

Answer 1

Entendí por qué la solución debe ser única unos minutos después de publicar la pregunta. A continuación expongo mi respuesta a la pregunta; también se admiten otros puntos de vista.

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Desde $G(0) \neq 0$ la serie de potencias $G(z)$ es invertible en el anillo $\Bbb{C}[[z]]$ digamos con inversa $K(z)$ (es decir, $1/G(z) = K(z))$ . Nótese que como serie de potencias, $G(z) = \widehat{G}(z)$ por lo que también tenemos $1/\widehat{G}(z) = K(z)$ .

Ahora, supongamos que $\widehat{F}(z)$ es una solución de la ecuación funcional $\widehat{F}(z) = z\widehat{G}(\widehat{F}(z))$ . Entonces, multiplicando ambos lados por $K(\widehat{F}(z))$ obtenemos $$\widehat{F}(z) K(\widehat{F}(z)) = z.$$ Por lo tanto, si $P(z)$ es la serie de potencias $zK(z)$ entonces $P$ es la inversa composicional de $\widehat{F}$ Eso es, $P(\widehat{F}(z)) = z = \widehat{F}(P(z))$ . Esto se debe a que (ejercicio):

1. todo inverso composicional izquierdo es también inverso composicional derecho (y viceversa), y
2. si existe un inverso composicional, entonces es único.

Por lo tanto, si $\widehat{F}(z)$ es una solución de la ecuación funcional $\widehat{F}(z) = z\widehat{G}(\widehat{F}(z))$ se determina unívocamente como la inversa composicional de la serie de potencias $zK(z) = z/G(z)$ .