Cómo calcular el límite de $\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x|\sin(s)|ds}{x}?$

Question

Me he encontrado con el problema de la estimación del límite de $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x|\sin(s)|ds}{x}.$$ Pues es fácil comprobar que el método de la Regla de l'Hospital es incapaz de eso. He intentado lo siguiente: Puesto que para cada $x>\pi,$ existen únicas $n\in\mathbb{N}$ $\theta\in[0, \pi),$ tal que $$x=n\pi+\theta,$$ y $$x\to+\infty \Longleftrightarrow n\to\infty.$$ En la cuenta de la periodicidad de la asignación de $s\to |\sin(s)|,$ \begin{gather*} \begin{aligned} &\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x|\sin(s)|ds}{x}=\lim_{n\to\infty}\frac{\int_0^{n\pi+\theta}|\sin(s)|ds}{n\pi+\theta}=\lim_{n\to\infty}\frac{\int_0^{n\pi}|\sin(s)|ds+\int_{n\pi}^{n\pi+\theta}|\sin(s)|ds}{n\pi+\theta}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{2n+\int_0^{\theta}|\sin(s)|ds}{n\pi+\theta}=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{1}{n}\cdot\int_0^{\theta}|\sin(s)|ds}{\pi+\frac{1}{n}\cdot\theta}\\ =&\frac{2}{\pi}. \end{aligned} \end{se reúnen*}

No estoy muy seguro de que a mi juicio es el sonido. Alguien me puede ayudar a comprobar mi método, o encontrar otra manera de calcular este límite?

Answer 1

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $\ds{\lim_{x \to \infty}\bracks{{1 \over x}\int_{0}^{x}\verts{\sin\pars{s}} \,\dd s}:\ {\large ?}}$. $$ \int_{0}^{x}\verts{\sin\pars{s}}\,\dd s = x\verts{\sin\pars{x}} - \int_{0}^{x}s\sgn\pars{\sin\pars{s}}\cos\pars{s}\,\dd s =x\verts{\sin\pars{x}} - \int_{0}^{x}\sgn\pars{\sin\pars{s}}\varphi'\pars{s}\,\dd s $$ donde $\ds{\varphi\pars{s} = \int_{0}^{s}t\cos\pars{t}\,\dd t}$. \begin{align} \int_{0}^{x}\verts{\sin\pars{s}}\,\dd s&= x\verts{\sin\pars{x}} - \sgn\pars{\sin\pars{x}}\varphi\pars{x} + \int_{0}^{x}\varphi\pars{s}\bracks{2\delta\pars{\sin\pars{s}}\cos\pars{s}}\,\dd s \\[3mm]&= x\verts{\sin\pars{x}} - \sgn\pars{\sin\pars{x}}\varphi\pars{x} + 2\int_{0}^{x}\varphi\pars{s}\cos\pars{s} \sum_{n = -\infty}^{\infty}\delta\pars{s - n\pi}\,\dd s \\[3mm]&= x\verts{\sin\pars{x}} - \sgn\pars{\sin\pars{x}}\varphi\pars{x} + 2\sum_{n = 1}^{\infty}\pars{-1}^{n}\varphi\pars{n\pi}\Theta\pars{x - n\pi} \end{align} Sin embargo, $$ \varphi\pars{s} = s\sin\pars{s} - \int_{0}^{s}\sin\pars{t}\,\dd t = s\sin\pars{s} + \cos\pars{s} - 1\quad\imp\quad\varphi\pars{n\pi} = \pars{-1}^{n} - 1 $$ \begin{align}\color{#0000ff}{\large% \int_{0}^{x}\verts{\sin\pars{s}}\,\dd s = 2\sin^{2}\pars{x \over 2}\sgn\pars{\sin\pars{x}} + 4\sum_{n = 0}^{\infty}\Theta\pars{{x \over \pi} - 2n - 1}} \end{align}

\begin{align}\color{#0000ff}{\large% \lim_{x \to \infty}\bracks{{1 \over x}\int_{0}^{x}\verts{\sin\pars{s}}\,\dd s}} &= 4\lim_{x \to \infty}\bracks{{1 \over x}\sum_{n = 0}^{\infty} \Theta\pars{{x - \pi \over 2\pi} - n}} \\[3mm]&= 4\lim_{x \to \infty}\bracks{{1 \over 2\pi x + \pi}\sum_{n = 0}^{\infty} \Theta\pars{x - n}} = \color{#0000ff}{\large{2 \over \pi}} \end{align}