Solicitud de referencia: Topología Equivariante

Question

Imparto un seminario de posgrado sobre topología equivariante. El formato del curso es que voy a dar 2-3 semanas de conferencias de fondo, entonces cada semana un estudiante presentará un tema. Todos los estudiantes han hecho un curso básico de topología algebraica (conocen la homología/cohomología y los grupos fundamentales), pero algunos no saben mucha más topología. Los temas incluirán probablemente cohomología equivariante, haces (equivariantes) y clases características, teoría K equivariante, e importantes clases de ejemplos intercalados, incluyendo variedades tóricas, espacios homogéneos, y el esquema de Hilbert de puntos en $\mathbb{C}^2$ . Mi objetivo personal es aprender un poco sobre la cohomología de Bredon para grupos de Lie compactos y conexos (me parece bien restringirlo un poco, pero probablemente no a grupos finitos).

Algunas referencias que ya tengo en mente son las que figuran en Pregunta y respuesta de David Speyer sobre la teoría K equivariante . Para la cohomología de Bredon, existen dos libros: Teorías cohomológicas equivariantes por G. Bredon, y Homotopía equivariante y teoría de la cohomología por J.P. May (con muchos otros colaboradores).

Solicitud de referencia: ¿Cuáles son los artículos clásicos en topología equivariante que todo estudiante debería leer?

Answer 1

Si se me permite el atrevimiento, le sugiero encarecidamente que empiece por los grupos finitos, en lugar de los Lie compactos. Aunque muchos de los resultados de la homotopía equivariante son válidos en ambos casos, las formulaciones para grupos finitos suelen ser más fáciles de entender. Además, hay giros que aparecen en el caso de Lie compacta que hacen que la exposición (y creo que la comprensión) sea un poco más complicada.

Para un grupo finito, es muy fácil realizar cálculos con la homología y la cohomología de Bredon. De hecho, es fácil escribir complejos en cadena de funtores de Mackey que lo hacen todo por ti. Para Lie compacto, por supuesto, se puede hacer lo mismo; personalmente lo encuentro sustancialmente más difícil y menos intuitivo.

Answer 2

\bib{MR1413302}{book}{
   author={May, J. P.},
   title={Equivariant homotopy and cohomology theory},
   series={CBMS Regional Conference Series in Mathematics},
   volume={91},
   note={With contributions by M. Cole, G. Comeza\tilde na, S. Costenoble,
   A. D. Elmendorf, J. P. C. Greenlees, L. G. Lewis, Jr., R. J. Piacenza, G.
   Triantafillou, and S. Waner},
   publisher={Published for the Conference Board of the Mathematical
   Sciences, Washington, DC},
   date={1996},
   pages={xiv+366},
   isbn={0-8218-0319-0},
   review={\MR{1413302 (97k:55016)}},
}

Answer 3

Esta respuesta está sesgada hacia la relación con la cohomología de grupo, ya que es donde aprendí por primera vez sobre cohomología equivariante mientras estudiaba con Ken Brown:
1) El famoso El espectro de un anillo de cohomología equivariante I+II (lo que demuestra que la dimensión de Krull de $H^*(G,\mathbb{Z}_p)$ es el rango p, es decir, el rango máximo de un subgrupo abeliano elemental p de $G$ y que los ideales primos mínimos del anillo están en correspondencia 1-1 con las clases de conjugación de los p-subgrupos abelianos elementales máximos).
2) Atiyah & Bott's El mapa de momentos y la cohomología equivariante (sobre localización, pero también un bonito artículo expositivo).
3) El famoso Duflot Profundidad y cohomología equivariante (que demuestra que la profundidad del anillo de cohomología equivariante $H^*_G(X;\mathbb{Z}_p)$ es al menos el rango máximo de un p-toro central que actúa trivialmente sobre el espacio $X$ ).
Estas son las tres referencias principales que yo daría, pero hay otras:
4) Duflot's Localizaciones de anillos cohomológicos equivariantes (que calcula la localización del anillo de cohomología equivariante localizado en uno de sus ideales primos mínimos).
5) Duflot's Los primos asociados de $H^*_G(X)$ (lo que demuestra que los primos asociados de $H^*_G(X;\mathbb{Z}_p)$ son invariantes bajo las operaciones de Steenrod, y de hecho pueden obtenerse restringiendo el anillo al de un p-toro).
6) Adem's Torsión en cohomología equivariante (se explica por sí mismo).

Y quizás sólo como lectura a la hora de comer: El artículo expositivo de Loring Tu ¿Qué es la cohomología equivariante? en AMS Notices.

Answer 4

En Seminario de Borel que es la referencia clásica para la cohomología equivariante (Borel), contiene una gran cantidad de información y es muy fácil de leer.

Answer 5

Adams tiene notas sobre Homotopía estable equivariante. Se llaman Prerequisite (On Equivariant Stable Homotopy Theory) para la conferencia de Carlsson.

¿Y los grupos de transformación de Tom Dieck?

PS hágamelo saber si usted no puede encontrar Adams.