Solicitud de referencia: Topología Equivariante

Question

Estoy enseñando un seminario de posgrado en topología equivariante. El formato del curso es que daré 2-3 semanas de conferencias introductorias, luego cada semana un estudiante presentará un tema. Los estudiantes han tomado un curso básico en topología algebraica (conocen homología/cohomología y grupos fundamentales), pero algunos pueden no saber mucho más sobre topología que eso. Los temas probablemente incluirán cohomología equivariante, (equivariante) paquetes y clases características, K-teoría equivariante y clases importantes de ejemplos intercalados, incluyendo variedades tóricas, espacios homogéneos y el esquema de Hilbert de puntos en $\mathbb{C}^2$. Mi objetivo personal es aprender un poco sobre la cohomología de Bredon para grupos de Lie compactos y conectados (estoy dispuesto a restringir eso un poco, pero probablemente no a grupos finitos).

Algunas referencias que ya tengo en mente incluyen las mencionadas en la pregunta y respuesta de David Speyer sobre teoría equivariante K. Para la cohomología de Bredon, hay dos libros: Equivariant Cohomology Theories de G. Bredon, y Equivariant Homotopy and Cohomology Theory de J.P. May (con muchos otros colaboradores).

Solicitud de referencia: ¿Cuáles son los trabajos clásicos en topología equivariante que todo estudiante debería leer?

Answer 1

Si me permites ser tan audaz, te sugeriría encarecidamente que comiences con grupos finitos, en lugar de grupos de Lie compactos. Si bien muchos de los resultados en homotopía equivariante son ciertos en ambos casos, las formulaciones para grupos finitos a menudo son más fáciles de entender. Además, hay complicaciones que surgen en el caso de grupos de Lie compactos que simplemente dificultan la exposición (y encuentro la comprensión) un poco más complicada.

Para un grupo finito, es muy fácil llevar a cabo cálculos con homología y cohomología de Bredon. De hecho, es fácil escribir complejos de cadenas de funtores de Mackey que hacen todo por ti. Para grupos de Lie compactos, por supuesto, puedes hacer lo mismo; personalmente encuentro que es sustancialmente más difícil y menos intuitivo.

Answer 2

\bib{MR1413302}{libro}{
   autor={May, J. P.},
   título={Teoría equivariante de homotopía y cohomología},
   serie={Serie de Conferencias Regionales CBMS en Matemáticas},
   volumen={91},
   nota={Con contribuciones de M. Cole, G. Comeza\tilde na, S. Costenoble,
   A. D. Elmendorf, J. P. C. Greenlees, L. G. Lewis, Jr., R. J. Piacenza, G.
   Triantafillou y S. Waner},
   editorial={Publicado para la Junta de Ciencias Matemáticas,
   Washington, DC},
   fecha={1996},
   páginas={xiv+366},
   isbn={0-8218-0319-0},
   reseña={\MR{1413302 (97k:55016)}},
}

Answer 3

Esta respuesta está sesgada hacia la relación con la Cohomología de Grupos, ya que es donde primero aprendí sobre la cohomología equivariante mientras estudiaba bajo Ken Brown:
1) El famoso trabajo de Quillen El Espectro de un Anillo de Cohomología Equivariante I+II (que demuestra que la dimensión de Krull de $H^*(G,\mathbb{Z}_p)$ es el rango p, es decir el rango máximo de un subgrupo abeliano elemental de p de G, y que los ideales primos mínimos del anillo están en correspondencia biunívoca con las clases de conjugación de subgrupos abelianos elementales máximos de p).
2) El trabajo de Atiyah y Bott El Mapa del Momento y la Cohomología Equivariante (sobre la localización, pero también es un buen artículo expositivo).
3) El famoso trabajo de Duflot Profundidad y Cohomología Equivariante (que demuestra que la profundidad del anillo de cohomología equivariante $H^*_G(X;\mathbb{Z}_p)$ es al menos el rango máximo de un toro central de p que actúa trivialmente en el espacio X).
Estas son las tres principales referencias que daría, pero otras incluyen:
4) El trabajo de Duflot Localizaciones de Anillos de Cohomología Equivariante (que calcula la localización del anillo de cohomología equivariante localizado en uno de sus ideales primos mínimos).
5) El trabajo de Duflot Los Primos Asociados de $H^*_G(X)$ (que demuestra que los primos asociados de $H^*_G(X;\mathbb{Z}_p)$ son invariantes bajo las operaciones de Steenrod, y de hecho se pueden obtener restringiendo el anillo al de un toro de p).
6) El trabajo de Adem Torsión en Cohomología Equivariante (autoexplicativo).

Y quizás como lectura para la hora de la comida: el artículo expositivo de Loring Tu ¿Qué es la Cohomología Equivariante? en AMS Notices.

Answer 4

El seminario de Borel, que es la referencia clásica para la cohomología equivariante (de Borel), contiene una gran cantidad de información y es bastante legible.

Answer 5

Adams tiene apuntes sobre Homotopía Estable Equivariante. Se llaman Prerrequisito (Sobre la Teoría de la Homotopía Estable Equivariante) para la conferencia de Carlsson.

Además, ¿qué hay de los Grupos de Transformación de tom Dieck?

PD: Avísame si no puedes encontrar a Adams.