Halla el volumen interior de ambos $x^2+y^2+z^2=4$ y $x^2+y^2=1$ .

Question

¿Cuál es el volumen interior de ambos $x^2+y^2+z^2=4$ y $x^2+y^2=1$ ?

El capítulo en el que estoy trabajando se llama Cambio de Variables en Integrales Múltiples, para mi clase de Cálculo Vectorial.

Entiendo que vamos a tomar la integral doble de estas dos formas para encontrar el volumen entre ambas, pero estoy muy perdido en cuanto a cómo empezar. ¿Debo convertir a coordenadas polares o debo reemplazar una ecuación en la otra, es decir $x^2+y^2=u$ y podría colocarlo en la primera ecuación, luego sustituirlo por 1 ya que $x^2+y^2=u=1$ . ¿O debo igualarlos e intentar encontrar los límites así?

Agradecería cualquier aportación, estoy muy confuso sobre cómo enfocar el problema.

Gracias.

Answer 1

Este sólido es la intersección de una esfera de radio 4 con un cilindro de radio 1. Si se mira hacia abajo en el sólido desde el positivo $z$ dirección verá el disco $x^2 + y^2 \le 1$ en el $xy$ plano. Como el sólido está delimitado por arriba y por abajo por la esfera se puede establecer la integral como $$ V = \iint_D [\text{top_edge} - \text{bottom_edge}] \, \mathrm dA $$ donde $D$ es el disco unitario $\{(x,y) : x^2 + y^2 \le 1\}$ . Por lo tanto su integral de volumen es $$ V = \iint_D 2 \sqrt{4 - x^2 - y^2} \, \mathrm dx \mathrm dy. $$ Utilizaría coordenadas polares para evaluar.