Grupo matemático para describir el dominio del proceso matemático

Question

Intento seguir los debates sobre la demostrabilidad y las paradojas, en particular en los ámbitos de la lógica y la teoría de conjuntos. Creo que se asume que cualquier pregunta expresable en inglés debe tener una respuesta binaria: sí o no, verdadero o falso, pero creo que gran parte de la confusión proviene de preguntas en las que el ámbito no está claramente definido, etc.

La solución obvia sería expresar los problemas en términos de una matemática: un grupo.

Por lo tanto, pregunto si alguien ha creado ya un grupo de este tipo, antes de empezar a vagar por el sendero del jardín.

Algunos de los conceptos con los que estoy jugando son Preguntas Respuestas - incluso para una pregunta booleana podemos tener muchas respuestas, como por ejemplo

1. Verdadero o
2. Falso. Sin embargo, el sistema necesitaba más respuestas posibles para funcionar.
3. Mala pregunta

Ahora hay múltiples subtipos de 3. Mala pregunta. 3a. La pregunta se entiende, pero no se puede responder en sentido verdadero o falso. 3b. La pregunta no se entiende. Está mal formulada. 3c. La pregunta no se puede responder porque no contiene suficiente información. (por ejemplo, si x = 5, ¿es x > y) 3d. Depende del ámbito de la pregunta. (por ejemplo, qué teoremas matemáticos está utilizando). 3e. Una o más teorías asumidas en el ámbito de la pregunta son incorrectas o inadecuadas para la naturaleza de la pregunta (por ejemplo, utilizar la mecánica newtoniana cuando se requiere la relatividad).

Y sólo en el ámbito de "¿Es demostrable la afirmación x?" hay múltiples significados de demostrable: a. Verdad demostrable, b. Probablemente falso, c. Aún no se ha encontrado ninguna prueba conocida d. Todavía no se ha encontrado ninguna refutación conocida e. Provably unprovable. Es decir, se puede demostrar que nunca se podrá demostrar.

De esto se deduce claramente que el espacio booleano no es suficiente.

Definiciones

Grupo: un sistema matemático [ ] Elementos Ópera Axiomas Capaces de expresar enunciados Algunos de los cuales Algunos de los cuales Algunos no son demostrables

Grupo válido: un grupo incapaz de expresar paradojas. Uno que es totalmente coherente internamente. Grupo roto - un grupo que tiene uno o más axiomas incorrectos, y por lo tanto es capaz de expresar paradojas. (Segundo teorema de incompletitud de Gödel) Grupo incompleto: grupo cuyos axiomas aún no se han descubierto, por lo que es incapaz de demostrar todas las afirmaciones válidas.

Un ejemplo de grupo incompleto sería la teoría de conjuntos ZF sin Axioma de Elección. Aparentemente hay numerosas afirmaciones indemostrables.

Por favor, sea amable con la jerga. Soy casi un matemático aplicado (física aplicada), no teórico, pero mi trabajo en TIC me lleva de nuevo a la teoría de la categorización en el contexto de los metadatos.

Answer 1

En primer lugar, la palabra "grupo" tiene un significado técnico que no es el que usted está utilizando aquí. Me parece que quieres algo más parecido a una "teoría". Una "teoría", en el sentido técnico, es esencialmente una colección de afirmaciones en algún lenguaje lógico. Las materias que estudian las teorías lógicas son, desde dos direcciones diferentes, la teoría de la prueba y la teoría de modelos, en cualquiera de las cuales podrías querer hacer alguna lectura.

En cuanto a sus experimentos con afirmaciones que no son necesariamente verdaderas o falsas, desde luego no es habitual suponer, como usted afirma, que toda pregunta expresable en inglés tenga una respuesta binaria. Se suele suponer que todo enunciado en un lenguaje lógico es verdadero o falso, más o menos porque tales enunciados son completamente precisos. Pero esto no siempre se asume: los sistemas lógicos más inusuales investigan más de dos valores de verdad. La lógica intuicionista es uno de los más famosos, aunque hoy en día no tiene prácticamente defensores. Pero una búsqueda en Google de lógica multi[valor de verdad mostrará que bastantes personas se han interesado por estas cuestiones.