¿Cuáles son los ejemplos conocidos de mapas positivos pero no completamente positivos?

Question

El único ejemplo que conozco de un mapa positivo que no sea completamente positivo es el mapa de transposición en $M_n(\mathbb{C})$ . Por supuesto, se puede llegar a perturbaciones menores de esto (componerlo con, o añadirlo a, un mapa completamente positivo, etc). ¿Hay otros ejemplos conocidos?

Answer 1

En el teorema 4.6 de su artículo

http://www.univie.ac.at/nuhag-php/bibtex/open_files/deha85_CanniereHaagerup.pdf

de Canni`ere y Haagerup construyen una secuencia explícita de funciones finitamente soportadas sobre el grupo libre $\mathbb{F}_N$ ( $N\geq 2$ ), que definen los multiplicadores positivos de la álgebra C* reducida $C^*_r(\mathbb{F}_N)$ y tal que la correspondiente secuencia de multiplicadores converge fuertemente a la identidad de $C^*_r(\mathbb{F}_N)$ . En $C^*_r(\mathbb{F}_N)$ es no nuclear, no tiene la propiedad de aproximación completamente positiva, por lo que sólo finitamente muchos de estos multiplicadores son completamente positivos.

Answer 2

En primer lugar, permítanme recordar algunas definiciones para asegurarme de que entiendo (al menos la versión matricial de) la pregunta correctamente. Todo lo que digo a continuación se basa en el capítulo 3 del delicioso libro Matrices definidas positivas por R. Bhatia.

Sea $\mathbb{M}_n$ denotan el espacio de $n \times n$ matrices complejas sobre $\mathbb{C}$ y que $\mathbb{M}_k(\mathbb{M}_n)$ denotan el conjunto de $k \times k$ matrices en bloque, con elementos de $\mathbb{M}_n$ como sus bloques. Sólo hablaré de mapas positivos y completamente positivos, y no me limitaré a los mapas lineales (todavía).

Considere el mapa $\Phi_k: \mathbb{M}_k(\mathbb{M}_n) \to \mathbb{M}_k(\mathbb{M}_p)$ es inducido por un mapa positivo $\Phi: \mathbb{M}_n \to \mathbb{M}_p$ de modo que, en particular para $k\times k$ matriz de bloques $A$ tenemos \begin{equation*} \Phi_k(A) := [\Phi(A_{ij})]. \end{equation*}

Si $\Phi_k$ es un mapa positivo para todo $k=1,2,\ldots,$ entonces $\Phi$ se denomina totalmente positivo (CP) mapa. Obsérvese que $k=1$ coincide con los mapas positivos "ordinarios".

Ahora, con esta definición, es cuestión rápida construir mapas que sean positivos pero no CP, por ejemplo, digamos el mapa $X \mapsto X^{-1}$ en matrices positivas.

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Además, si sólo tiene en cuenta los lineal y mapas lineales CP, entonces se puede apelar a un teorema de Choi y Kraus que dice que cada mapa CP $\Phi$ debe asumir la representación $\Phi(A) = \sum_i V_i^*AV_i$ y basta con encontrar un mapa positivo (lineal) que no asuma esta representación.

La razón de que lo anterior sea cierto se desprende también de la siguiente observación más profunda. Supongamos que todo mapa lineal positivo $\Phi: \mathbb{M}_n \mathbb{M}_p$ podría escribirse como $$\Phi(A) = \sum_i V_i^*AV_i + \sum_j V_j^*A^TV_j,$$ entonces se deduce que todo polinomio real en $n$ variables que sólo toma valores no negativos es una suma de cuadrados de polinomios reales. Pero Hilbert demostró que esta afirmación era falsa.

Answer 3

Aquí hay algo bueno: Aquí se demuestra, por Sixia Yu, que en el caso finito-dimensional, cualquier mapa positivo que no sea completamente positivo puede escribirse como la diferencia de dos mapas completamente positivos. El artículo también considera una condición necesaria y suficiente para que un mapa positivo no sea completamente positivo (también en dimensiones finitas). Aparentemente, este artículo proporciona un mecanismo para generar ejemplos que respondan a su pregunta en el caso de dimensiones finitas.

Answer 4

Un homomorfismo de Jordan entre C*-álgebras es siempre positivo, pero es completamente positivo sólo si es un homomorfismo. Para obtener algunos ejemplos, digamos $C_r^*(G)$ es el álgebra C* reducida de un grupo discreto o groupoide $G$ . A continuación, el mapa $g\mapsto g^{-1}$ (una transposición generalizada) induce un homomorfismo de Jordan en $C_r^*(G)$ que es positivo pero no completamente positivo.

Answer 5

Un ejemplo distinto de la transposición es el ejemplo de Arveson de un mapa positivo unital no contractivo (véase el libro de Paulsen, Ejemplo 2.2). Como todo mapa unital completamente positivo es contractivo, el mapa de Arveson no puede ser completamente positivo. El ejemplo es el siguiente $\mathcal{S}$ sea el sistema de operadores $$ \mathcal{S}=\text{span}\{1, z, \bar{z} \} \subset C(\mathbb{T}), $$ y que $\phi:\mathcal{S}\to M_2(\mathbb{C})$ viene dada por $$ \phi(a+bz+c\bar{z})=\begin{bmatrix}a&2b\\ 2c& a\end{bmatrix}. $$

Este ejemplo podría no ser satisfactorio para algunos algebristas de operadores porque no puede extenderse a un ejemplo con un C $^*$ -de álgebra. Una forma de producir ejemplos entre C $^*$ -utilizaremos el teorema de Choi que caracteriza los mapas completamente positivos $\varphi:M_n(\mathbb{C})\to B(H)$ . El resultado de Choi afirma que $\varphi$ es completamente positiva si y sólo si la matriz $$ \left[\varphi(e_{kj})\right]\in M_n(B(H)) $$ es positivo, donde $\{e_{kj}:\ k,j=1,\ldots,n\}$ son las unidades matriciales estándar. La única salvedad es que uno necesita producir mapas positivos en las matrices mostrando cálculos explícitos en las entradas de la matriz, y esto podría no ser tan fácil. Estoy familiarizado con ejemplos de sistemas de operadores pequeños, en los que la positividad de los elementos puede establecerse con fórmulas más sencillas, pero no veo de inmediato una forma de hacerlo explícitamente para álgebras matriciales completas.