¿Por qué la ecuación del calor hacia atrás es un problema mal planteado? $$\frac{u}{t}=-k\frac{^2u}{x^2}$$ . Y lo que hace que esta ecuación de conducción de calor $$\frac{u}{t}=k\frac{^2u}{x^2}$$ ¿Bien planteado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Pablo Jeken
Puntos
101
La buena solución de una EDP en el sentido de Hadamard, como usted ha dicho, requiere eso:
- Existencia: Existe una solución
- Singularidad: La solución es única
- Estabilidad: La solución cambia continuamente con las condiciones iniciales/limítrofes.
Para comprobar estos puntos es necesario definir los valores iniciales y de contorno, ya que también determinan si el problema está bien planteado. Por ejemplo, tomemos esta configuración para la ecuación del calor:
\begin{equation} \begin{cases} u_t - \alpha^2u_{xx} = 0,\quad &t \in (0,\infty),~ x\in \Omega\\ u(t,x) = 0 ,\quad &t \in (0,\infty),~ x\in \partial\Omega\\ u(0,x) = u_0(x),\quad &t =0,~ x\in \Omega\\ \end{cases} \end{equation} Para este problema podemos calcular una solución general de la forma: $$u(t,x) = e^{-\alpha^2\lambda^2t}\left[A\sin(\lambda t)+B\cos(\lambda t)\right]$$ Habiendo encontrado una forma general podemos insertar las condiciones de contorno e iniciales y acabaremos teniendo una solución puramente dependiente ( $A,B,\lambda$ expresado en términos de dichos BC e IC) sobre estos valores iniciales y límite. Esto demuestra la existencia.
Sabiendo que existe una solución se puede seguir adelante y demostrar utilizando el principio máximo que la solución es realmente única.
La condición de estabilidad puede demostrarse mostrando la dependencia directa de la solución analítica de la BC/IC.
La ecuación del calor hacia atrás posee una solución única para un conjunto común de condiciones iniciales y de contorno. Sin embargo, puede demostrarse que la solución, que finalmente explota, ya no depende de las condiciones iniciales. Para más detalles, puede consultar el mal planteamiento de la ecuación de calor hacia atrás .
