$\sum_{k=1}^\infty a_k$ converge si $\sum_{k=1}^\infty a_k/(1+a_k)$ converge

Question

Acabo de encontrar el siguiente ejercicio en Schinazi, R. (2012). Del cálculo al análisis (1ª ed., p. 54). Basilea: Birkhäuser.

Sea $a_n>0$ . Demuestre que $\sum_{k=1}^\infty a_k$ converge si y sólo si $$\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{1+a_k}$$ converge.

Por lo que veo, supongo que tendré que utilizar la prueba de comparación para el $\Rightarrow$ dirección. Pero, ¿y en la otra dirección?

Answer 1

Si $\sum\frac{a_k}{1+a_k}$ converge, entonces necesariamente $$ \frac{a_k}{1+a_k}\to0\text{ as }k\to\infty, $$ lo que a su vez implica que $a_k\to0$ como $k\to\infty$ . Entonces $a_k\leq 1$ para $k$ suficientemente grande, y por tanto $$ \frac{a_k}{1+a_k}\geq\frac{a_k}{2}\text{ for $ k $ sufficiently large}. $$ A continuación, utilice el hecho de que $\sum a_k$ converge si y sólo si $\sum\frac{a_k}{2}$ converge.

Answer 2

Para la implicación inversa, demuestre que si $\sum a_n$ diverge, entonces también lo hace $\sum a_n/(1+a_n)$ .

Si $a_n$ está acotado y $a_n < B $ para todos $n$ entonces $a_n/(1+a_n) > a_n/(1+B)$ y tenemos divergencia por la prueba de comparación.

Si $a_n >0$ es ilimitada, entonces existe una subsecuencia $a_{n_k} \to \infty$ y $a_{n_k}/(1 + a_{n_k}) \to 1$ lo que implica divergencia por la prueba del término.

Answer 3

$\displaystyle \sum \dfrac{a_k}{1+a_k}$ converge

$\rightarrow $

$\lim_{k \rightarrow \infty} \dfrac{a_k}{1+a_k}=0,$

$\rightarrow$

$a_k$ está acotado , ver nota.

Hay un $n_0$ tal que $ a_k \lt 1.$

$a_k= \dfrac{a_k(1+a_k)}{1+a_k} \lt \dfrac{a_k(1+1)}{1+a_k} =$

$\dfrac{2a_k}{1+a_k}.$

Prueba de comparación.

Nota:

$\lim_{k \rightarrow \infty} \dfrac{a_k}{1+a_k} = 0.$

Para $1 > \epsilon >0$ hay un $n_0$ tal que

para $k\ge n_0$ :

$\dfrac{a_k}{1+a_k} \lt \epsilon$ o

$a_k(1-\epsilon) \lt \epsilon ,$

$a_k \lt \dfrac{\epsilon}{1-\epsilon}.$

Elija $\epsilon =1/2 $ para obtener $a_k\lt 1.$

Answer 4

Utilizaremos la prueba de comparación de límites. $$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n (1-a_n)}{a_n} = 1 > 0$$ Los resultados sigue