Elija elementos distintos que cumplan determinadas condiciones en $\Bbb{Z}_n$

Question

Estoy tratando de entender la prueba de una proposición en un documento como el siguiente:

No puedo entender cómo y por qué la condición $km<n$ llevan a elegir $a_1,\dots,a_m\in \Bbb{Z}_n$ de forma que los elementos enumerados sean todos distintos. Supongo que el axioma de elección se aplica aquí, pero el método de elección de los elementos no se indican en la prueba.

A continuación, me pregunto si este resultado puede generalizarse. Por ejemplo, si $p+q+r<n$ où $p,q,r$ son enteros positivos, podemos elegir $a_1,a_2,a_3\in \Bbb{Z}_n$ tal que $$\begin{align*} &a_1,a_1+1,a_1+2,\dots,a_1+(p-1);\\ &a_2,a_2+p,a_2+2p,\dots,a_2+(q-1)p;\\ &a_3,a_3+pq,a_3+2pq,\dots,a_3+(r-1)pq \end{align*}$$ son todas distintas en $\Bbb{Z}_n$ .

Observación:
$A_1,\dots,A_m$ es una descomposición completa de $\Bbb{Z}_n$ si $A_1+\dots+A_m=\Bbb{Z}_n$ y $A_1,\dots,A_m$ son disjuntos.

Answer 1

Supongo que por $\mathbb Z_n$ querías decir $\mathbb Z/n\mathbb Z$ los enteros mod $n$ . Corrígeme si me equivoco.

Esta prueba me parece dudosa. Tome $k=3, n=54$ entonces $m=4$ y $n=(k-1)k^{m-1}$ . Como tal $a_m\equiv a_m+(k-1)k^{m-1}\pmod n$ y nunca serías capaz de encontrar números tan distintos.

Sin embargo, puedo decir una cosa: esto no tiene absolutamente nada que ver con el Axioma de Elección. Se utiliza cuando se eligen infinitas cosas entre infinitos conjuntos. Aquí estás eligiendo finitamente muchos números enteros. Incluso si usted fuera a elegir infinitamente muchos representantes de $\mathbb Z$ puede ordenarse fácilmente (por ejemplo, por valor absoluto) y no requiere elección alguna.