Dos tirador disparar a una diana donde el juego termina cuando dos hits son observados.

Question

El problema es el siguiente:

La persona a y la B son de disparo en un objetivo. Independientemente de quién está disparando, la probabilidad de que el disparo de los resultados en un golpe es $p$, y cada disparo es independiente el uno del otro. Van a disparar, uno por uno, en el orden en el $A,B,A,B,\dots$ hasta dos hits son observados. Encontrar la probabilidad de que sea la misma persona que recibió los golpes.

Mis intentos:

Una cosa que he notado es que el problema se hace hincapié en la independencia, lo cual es bueno si tenemos la necesidad de simplificar las cosas. Mi idea es como este:

$$P(A{\text{ hits twice| Two hits}}) + P(B{\text{ hits twice| Two hits}})$$

He estado tratando en varias ocasiones, llegando a la conclusión de que es $p^2(1-p)(2-p)$ por el razonamiento de que la anterior conduce a "Un hit, B miss, Un hit" o "Una miss, B hit, Una miss, B hit". Mi única preocupación es que el juego podría seguir varias rondas, es decir, "Una miss, B señorita, señorita, B señorita", así que se siente como debemos utilizar el binomio/distribución de Poisson de alguna manera (o geométrica, o una suma infinita, etc).

La respuesta debe ser como la siguiente:

$$\frac{{1 - p}}{{2 - p}}$$

¿Alguien sabe cómo este problema puede ser abordado?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad supongamos que $A$ los resultados del primer golpe. Lo que le interesa es entonces la probabilidad de que $A$ también las puntuaciones de la siguiente golpe después de eso.

Y, a continuación, podemos simplificar la cuestión, "en un partido donde la primera para anotar cualquier golpe gana, ¿cuál es la probabilidad de $q$ el segundo jugador que gana?"

Podemos intentar calcular esta haciendo un resumen de una serie (que resulta ser geométrica), pero es más rápido observar que si el primer jugador pierde entonces la situación es simétrica, sólo con el jugador a intercambiar, y la probabilidad de que el ahora primer jugador para ganar debe ser $1-q$. Por lo $q$ tiene que satisfacer $$ q = p\cdot 0 + (1-p)\cdot (1-q) $$ que se resuelve fácilmente.

Answer 2

La solución geométrica para complementar Henning:

Tras el primer golpe, se suman las probabilidades de que haya un número impar de errores, y un éxito:

$$P = \sum_{j=0}^{\infty} (1-p)^{2j+1}p = \frac{p(1-p)}{1-(1-p)^2} = \frac{1-p}{2-p}.$$

El número inicial pierde es irrelevante para la solución, pero tenemos que recibir un golpe antes de que podamos llegar el segundo golpe. El problema es un poco mal definidos, sin lograr que el primer golpe, por lo que es conveniente (y razonable) a asumir que uno de los jugadores que tengo.

Pero tenga en cuenta que la probabilidad de $n$ pierde seguido por un golpe se

$$P'(n) = (1-p)^{n}p$$

y la suma de todos los $n$ es

$$P' = \sum_{j=0}^{\infty} p(1-p)^j = \frac{p}{1-(1-p)} = 1.$$

Así que si tenemos a mano ola sobre la noción de "un número infinito de misses, seguido por un golpe" entonces vemos que el resultado es exactamente el mismo si tomamos en cuenta la inicial se pierde. Cada uno de los términos en $P$ (la parte superior de la ecuación de mi respuesta) se multiplica por el número infinito de términos que se muestran en $P'$, pero los términos de $P'$ agregar a a $1$.

Answer 3

Sin embargo, una manera diferente de expresar esto es: a la Derecha después de un golpe, vamos a $q$ denotar la probabilidad de que somos después de que una misma persona las puntuaciones del segundo golpe. Dos casos de éxito:

• Una miss seguido por un golpe (inmediato éxito)
• Dos fallos y hemos vuelto a la misma situación con una probabilidad de $q$ nuevo

Así $$ q = (1-p)p+(1-p)^2t $$ que luego pueden ser resueltos por $q$.

Answer 4

Para B para marcar los golpes y ganar:

1. B tiene que anotar el primer golpe
2. Dado que B, anotó el primer golpe, B ha de anotar que el próximo golpe

Deje que la probabilidad en el #1 $p_B$

Para #2, es lo mismo que empezar de nuevo y a la espera de #1 a suceder (Una voluntad de disparar primero, seguido por B)

$P(\text{B scores the next hit | B scored the first hit}) = p_B$

$P(\text{B scores first two hits}) = p_B^2$

Ahora echemos un vistazo a Un ganador con los dos primeros hits:

1. Una de las puntuaciones del primer golpe.
2. Dado que anotó el primer golpe, Un puntuaciones el segundo golpe.

Vamos #1 $p_A$ . #2 es como B disparo primero y Una puntuación en el primer golpe (que es simétrica de #2 en B), por lo que la probabilidad es $p_B$

La probabilidad de Un puntuaciones de ambos éxitos = $p_Ap_B$

P(El ganador de las puntuaciones de ambos éxitos) = P(a las puntuaciones de ambos hits) + P(B puntuaciones de ambos hits)

$= p_Ap_B + p_B^2 = p_B (p_B + p_A) $

Pero $p_A + p_B = 1$, de modo que la probabilidad es simplemente $p_B$

Así que ahora el problema se reduce a sólo la solución para que la probabilidad de B, haciendo que el primer golpe. Por lo tanto, B puede anotar el primer golpe en la 2ª, 4ª, 6ª... cualquier pares tiro

$p_B = (1-p)p + (1-p)^3p + (1-p)^5p + ... $

$p_B = (1-p)p * ( 1 + (1-p)^2 + (1-p)^4 + ..) $

$p_B = (1-p)*p*\frac{1}{1 - (1-p)^2} $

Que viene a $\frac{1-p}{2-p}$