Problema difícil con fracciones

Question

No puedo resolver el siguiente problema.

Una persona es $x$ años. Halla su edad si lo siguiente es cierto. En un grupo de $x$ gente cada uno comenzó a tomar fotos de cada uno de los otros. En algún momento sabemos que más de $\frac{1}{2}$ del pueblo ha tomado exactamente $\frac{1}{2}$ de todas sus fotos (que son $x-1$ por cada uno de ellos), al mismo tiempo más de $\frac{1}{3}$ de ellos ha tomado exactamente $\frac{1}{3}$ de todos sus cuadros, y al mismo tiempo más de $\frac{1}{7}$ de ellos ha tomado exactamente $\frac{1}{7}$ de sus fotos.

Answer 1

Por las imágenes tomadas sabemos que 2, 3 y 7 son divisores de $x-1$ . El número más pequeño para el que esto es cierto es 2*3*7 = 42. Por lo tanto, el menor $x$ es 43. El siguiente posible $x$ sería 2 * 42 + 1 = 85.

Ahora $\frac{1}{2}$ de 42 es 21, $\frac{1}{3}$ de 42 es 14 y $\frac{1}{7}$ de 42 es 6. Dado que más más de la mitad, un tercio, una séptima parte de la gente se ha hecho la foto, el número mínimo de personas sería $(21 + 1) + (14 + 1) + (6 + 1) = 45$ lo que excluye a 43 como solución.

En caso de $x = 85$ obtenemos $(42 + 1) + (28 + 1) + (12 + 1) = 85$ que se adapta perfectamente.

Supongo que podemos asumir con seguridad que la persona no tiene 127 años.

Answer 2

Sabemos que para que las fracciones dadas sean exactas, $x-1$ debe ser divisible por $2$ , $3$ y $7$ . Esto deja $42$ , $84$ para $x-1$ . Cualquier cosa mayor o menor que eso no podría corresponder razonablemente a la edad de una persona y al tamaño de un grupo. Probemos $x=43$ . Los enteros más pequeños mayores que $\frac{43}{7}$ , $\frac{43}{3}$ y $\frac{43}{2}$ son $7$ , $15$ y $22$ . Sin embargo, si las sumamos, obtenemos $44$ ; que es mayor que $43$ no podemos dividir un grupo de tamaño $43$ y seguir satisfaciendo el problema.

Ahora dejemos que $x=84$ . Los números más pequeños mayores que $\frac{85}{7}$ , $\frac{85}{3}$ y $\frac{85}{2}$ son $13$ , $29$ y $43$ . Se suman a $85$ .

Por lo tanto, si dejamos que $13$ la gente dispara $12$ fotos, $29$ la gente dispara $28$ fotos y $43$ la gente dispara $42$ fotos, se cumplen los criterios del problema. El hombre será entonces $85$ años.