¿Satisface la teoría de la homología del bordismo el axioma de equivalencia débil?

Question

Existe una interesante e importante teoría homológica llamada bordismo . En pocas palabras, un colector singular en un espacio $X$ es un par $(M, f)$ où $M$ es una variedad lisa cerrada y $f : M \to X$ es un mapa. Dos variedades singulares de la misma dimensión $(M, f)$ y $(N, g)$ en $X$ son bordant si existe un par $(W, H)$ où $W$ es un bordismo de $M$ a $N$ y $H : W \to X$ es un mapa que restringe a $f$ y $g$ en $M$ y $N$ . Definimos el grupo bordismo $MO_n X$ es el conjunto de clases de bordismo de todos los $n$ -de las variedades singulares en $X$ (se trata efectivamente de un grupo abeliano bajo la adición inducida por el coproducto de los manifolds). Resulta que esto da lugar a una teoría homológica, es decir, los functores $MO_*$ satisfacen los axiomas de Eilenberg--Steenrod. En sentido estricto, hay que definir los grupos de bordismo relativo que se definen utilizando clases de bordismo de variedades compactas singulares con límite, es decir, mapas $(M, \partial M) \to (X, A)$ y hay que resolver algunos problemas con los colectores con esquinas. La construcción completa se explica muy bien en Mapas periódicos diferenciables por Conner y Floyd. (Cuidado que hay un libro y un paper de los mismos autores y con el mismo título, me refiero al libro: Mapas periódicos diferenciables LNM 738, 1979). También existen variantes (aún más interesantes) de la teoría del bordismo como $MU$ y $M \mathrm{Spin}$ que surgen al considerar la estructura adicional en las variedades singulares. Espero que una buena respuesta a mi pregunta se ocupe del caso general.

Una teoría homológica $h_*$ satisface el axioma de equivalencia débil si para cada equivalencia débil de pares de espacios $f : (X, A) \to (Y, B)$ (es decir, un mapa tal que ambos $f : X \to Y$ y $f | A : A \to B$ son equivalencias débiles) el mapa inducido $h_*(X, A) \to h_*(Y, B)$ es un isomorfismo. Mi pregunta es exactamente como en el título.

¿Satisface la teoría de la homología del bordismo el axioma de equivalencia débil?

Un ejemplo de teoría homológica que satisface el axioma de equivalencia débil es la homología singular. La forma de demostrarlo es la siguiente. Fijemos un par de espacios $(X, A)$ y un número natural $n$ . Considere la Subcomplejo Eilenberg $\mathrm{Sing}^{(n, A)} X$ del complejo singular $\mathrm{Sing} X$ que consisten en grado $k$ de mapas de pares $(\Delta^k, (\Delta^k)^{(n)}) \to (X, A)$ où $(\Delta^k)^{(n)}$ es el $n$ -esqueleto de $\Delta^k$ . Se puede demostrar que si $(X, A)$ es $n$ -entonces la inclusión inducida de complejos de cadenas singulares $S_\bullet^{(n, A)} X \to S_\bullet X$ es una equivalencia de homotopía de cadena y, por tanto, los grupos relativos $H_*(X, A)$ son cero hasta el grado $n$ .

Esto me dio la idea de que quizás en caso de bordismo el axioma de equivalencia débil podría verificarse eligiendo una triangulación en una variedad $M$ y considerando los mapas $(M, M^{(n)}) \to (X, A)$ où $M^{(n)}$ es el $n$ -esqueleto de $M$ con respecto a esta triangulación. No he podido encontrar una demostración en este sentido. Sin embargo, si este planteamiento tiene algún mérito, entonces significa que la cuestión tiene algo que ver con la existencia de triangulaciones de variedades y, por tanto, lo siguiente puede ser una variante más sutil de la cuestión.

¿La teoría de la homología del bordismo topológico (es decir, la que se construye utilizando variedades topológicas compactas, que no admiten necesariamente triangulaciones) satisface el axioma de equivalencia débil?

Algunas personas pueden pensar que la cuestión es algo irrelevante, ya que incluso si una teoría homológica no satisface el axioma de equivalencia débil, entonces simplemente la prolongamos de los complejos CW a todos los espacios mediante la sustitución CW. Sin embargo, creo que si alguna teoría (co)homológica definida geométricamente satisface el axioma de equivalencia débil para alguna clase de espacios mayor que los complejos CW, entonces es bueno saber cómo de grande es exactamente esta clase. Por ejemplo, para la homología singular, esta clase está formada por todos los espacios, lo que hace que la teoría tenga un comportamiento inesperado. Un ejemplo en el que falla mucho es la teoría K topológica. En este caso, la definición geométrica es errónea incluso para complejos CW no finitos y es necesario utilizar el espectro representativo para extender la teoría a todos los espacios.

Answer 1

Esta respuesta es simplemente para escribir los detalles de mi comentario anterior. Se trata de trabajar un poco más con equivalencias de homotopía, para llevar a cabo esencialmente el argumento que diste en tu comentario sobre el caso suave.

Supongamos que $f:X\to Y$ es una equivalencia débil de espacios topológicos. Queremos demostrar que el mapa inducido en bordismo topológico (como usted lo define) es una biyección.

En cuanto a la subjetividad, me limitaré a repetir el contenido del comentario de Tom Goodwillie. En primer lugar, observamos que cualquier colector topológico tiene el tipo de homotopía de un complejo CW (se pueden encontrar referencias a pruebas de Hanner en "On spaces having the homotopy type of a CW-complex" de Milnor, como se señala en el comentario de Greg Friedman). De ello se deduce que $f$ induce una biyección en clases de homotopía de mapas $f_\ast :[M,X]\to [M,Y]$ . Por lo tanto, cualquier mapa $g:M\to Y$ es homotópico y, por tanto, coherente con un mapa que eleva a $X$ . Esto demuestra la subjetividad.

Para demostrar la inyectividad, necesitamos saber que la inclusión del límite de una variedad topológica es una cofibración de Hurewicz cerrada, es decir, un par NDR. Esto es así porque la frontera de una variedad topológica es collarizada (véase el capítulo 2 de Notas de Ferry ). Con este hecho a mano, podemos demostrar que para cualquier variedad topológica $M$ la pareja $(M,\partial M)$ es homotópicamente equivalente rel $\partial M$ a un par $(A,\partial M)$ tal que la inclusión $\partial M\to A$ es una cofibración de Serre.

Prueba de la reclamación: Simplemente factor de inclusión $\partial M\to M$ como una cofibración de Serre seguida de una equivalencia débil $\partial M\to A\to M$ . Desde $\partial M$ es una variedad topológica, tiene el tipo de homotopía de un complejo CW, y se deduce que $A$ también tiene el tipo homotópico de un complejo CW. Entonces el mapa $A\to M$ es una equivalencia débil de espacios con el tipo de homotopía de los complejos CW y, por tanto, una equivalencia de homotopía. El mapa $A\to M$ es, por tanto, una equivalencia homotópica rel $\partial M$ ya que ambos mapas $\partial M\to A$ y $\partial M \to M$ son cofibraciones de Hurewicz.

Ahora podemos demostrar la inyectividad llevando a cabo un argumento similar al que has escrito en tu comentario. Dadas las clases de bordismo $g_0:M_0\to X$ , $g_1:M_1\to X$ en $X$ y un cobordismo $g:M\to Y$ ( $\partial M=M_0\coprod M_1$ ) entre $f\circ g_0$ y $f\circ g_1$ necesitamos encontrar un cobordismo $g':M\to X$ entre $g_0$ y $g_1$ . Para ello, sustituimos $(M,\partial M)$ con $(A,\partial M)$ como se ha descrito anteriormente. Dado que $\partial M\to A$ es una cofibración de Serre, podemos encontrar una elevación hasta homotopía $A\to X$ del compuesto $A\to M\to Y$ que, además, amplía el mapa $(g_0,g_1):\partial M\to X$ . Componiendo con la equivalencia de homotopía $M\to A$ rel $\partial M$ obtenemos el mapa deseado $g':M\to X$ .

Answer 2

Thom construyó directamente un isomorfismo natural $MO_n(X) \rightarrow \pi_n (MO \wedge X_+)$ sin suposiciones sobre $X$ . Este último envía equivalencias débiles a isomorfismos, ya que se calcula como un colímite sobre grupos homotópicos.