Cuasifibraciones y pullbacks de homotopía

Question

Me pregunto por la ubicación teórica de las cuasifibraciones.

Una cosa buena de las "fibraciones débiles" (mapas homotópicamente equivalentes en la categoría de mapas a fibraciones de Hurewicz) es que un cuadrado de pullback que implique (una) fibración débil es un cuadrado de pullback homotópico.

Es el resultado correspondiente para las cuasifibraciones en el contexto de Serre-Quillen? Es decir, supongamos $E\to B$ es una cuasifibración, y el cuadrado $$ \begin{array}{ccc} P & \to & E \cr\downarrow&pb&\downarrow \cr X& \to &B \end{array} $$ es un retroceso categórico. Entonces, ¿es un pullback homotópico en el modelo de Quillen-Serre de Quillen-Serre?

Answer 1

La definición de cuasifibración (según Dold & Thom, 1958) es: un mapa $f:E\to B$ tal que para todo $b$ en $B$ el mapa canónico de la fibra a la fibra homotópica es una equivalencia débil. Los retrocesos con respecto a dichos mapas son no generalmente pullbacks de homotopía; en ese trabajo de 1958 se dio un ejemplo (Bermerkung 2.3), que dice algo así:

Sea $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}B=\R\times \R$ . Entonces $E$ tendrá el mismo conjunto subyacente que $B$ y $f$ será el mapa de identidad. Pero topologizamos $E$ por "desgarro" a lo largo del positivo $y$ -Eje. Por ejemplo $E$ tienen la topología más pequeña tal que $f$ es continua y el conjunto $[0,\infty)\times (0,\infty)$ está abierto.

El espacio $E$ sigue siendo contractible con esta topología (se retrae por deformación a $\R\times -1$ ). Por lo tanto, la fibra homotópica sobre cualquier punto de $B$ debe ser débilmente contractible y, por tanto, débilmente equivalente a la fibra de un punto real. Así que $f$ es una cuasifibración.

Sea $X= \mathbb{R}\times 1\subset B$ y que $P$ sea el pullback de $E$ en $X$ . Entonces $P$ tiene dos componentes de trayectoria, mientras que $X$ es contractible; ¡no se trata de un pullback homotópico!

Answer 2

Depende bastante de lo que entiendas por cuasifibración. El recurso más útil que conozco para preguntas sobre cuasifibraciones es este mensaje de Goodwillie, enviado a la lista de correo APGTOP en 2001.