Condiciones de contorno naturales para un problema variacional cuando $~f~$ es una función de las derivadas de orden superior de $~y~$

Question

No estoy seguro de las condiciones de contorno para un problema variacional cuando $~f~$ es una función de las derivadas de orden superior de $~y~.$

es decir, si tenemos: $~f(x,y,y',y'')~$ ¿cuál es la condición límite natural en este caso?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

• Cuando el funcional es de la forma $$I[y(x)] = \int_{x_1}^{x_2} F \left(x,y(x),y'(x)\right) \,\rm{d}x~,$$ entonces las condiciones límites naturales se dan en mi respuesta de la siguiente pregunta: ¿Qué son las condiciones naturales de contorno en el cálculo de variaciones?

• Si la función implica derivadas superiores de $~y(x)~,$ como, $$I[y(x)] = \int_{x_1}^{x_2} F \left(x,y(x),y'(x),y''(x)\right) \,\rm{d}x$$ entonces el mínimo (o máximo) de $~I[y(x)]~$ satisface la siguiente ecuación de Euler-Lagrange, $$\dfrac{\partial F}{\partial y}-\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\right)+\dfrac{d^2}{dx^2}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y''}\right)=0$$ siempre que $~y(x)~$ está sometida a las siguientes condiciones de contorno esenciales o naturales,

\begin{array}{|c|c|} \hline \text{essential}& \text{natural}\\ \hline y(x_1)=y_1 &\frac{\partial F}{\partial y'}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y''}\right)=0\text{at}x=x_1 \\ \hline y'(x_1)=y_1' & \frac{\partial F}{\partial y''}=0 \text{at}x=x_1 \\ \hline \hline y(x_2)=y_2 & \frac{\partial F}{\partial y'}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y''}\right)=0\text{at}x=x_2 \\ \hline y'(x_2)=y_2'& \frac{\partial F}{\partial y''}=0 \text{at}x=x_2 \\ \hline \end{array}